Hola, lo siguiente es un teorema bien conocido
Dejemos que $M$ sea un espacio métrico. Si todo subconjunto incontable de $M$ tiene un punto límite, entonces $M$ es separable.
Pregunta: ¿Existe un resultado similar para los espacios topológicos?
No tengo casi ningún conocimiento de topología, así que sólo puedo esperar que esto no sea trivial.
La declaración "Que $M$ sea un espacio topológico. Si todo subconjunto incontable de $M$ tiene un punto límite, entonces $M$ es separable", es falso. Consideremos el primer ordinal incontable $\omega_1$ bajo la topología de orden (véase http://en.wikipedia.org/wiki/First_uncountable_ordinal ). $\omega_1$ es contablemente compacto, y por tanto también débilmente contablemente compacto (es decir, todo subconjunto infinito tiene un punto límite), pero $\omega_1$ no es separable.
La propiedad "Todo conjunto incontable tiene un punto límite" está relacionada con la propiedad de Lindelöf (toda cubierta abierta tiene una subcubierta contable). Para los espacios metrizables estas nociones son equivalentes, y en general Lindelöf implica la propiedad del punto límite. Y hay muchos espacios de Lindelöf que no son separables, como muestran los otros ejemplos. Para los espacios metrables, ser Lindelöf, separable, segundo contable, etc. son todos equivalentes.
Consideremos el espacio topológico $[0, \omega_1]$ donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable. Todo subconjunto incontable tiene un punto límite, a saber $\omega_1$ porque el complemento de cualquier vecindad de $\omega_1$ es contable. Sin embargo, no es separable, ya que el sumo de un subconjunto contable de ordinales contables es contable.
Todo espacio compacto satisface "todo conjunto infinito tiene un punto límite". (Estoy asumiendo aquí que por punto límite se entiende lo que yo llamaría un punto de acumulación, es decir, un punto $x$ tal que cada barrio contiene infinitos elementos del conjunto). Así, en particular, en un espacio compacto todo conjunto incontable tiene un punto límite. De ello se deduce que todo espacio compacto que no sea separable (por ejemplo, una potencia suficientemente alta del intervalo unitario cerrado o el ejemplo de Robert Israel) muestra que el teorema que mencionas no se cumple para los espacios topológicos en general.
El teorema que mencionas implica, por supuesto, que los espacios métricos compactos son separables.
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