Estoy estudiando Resolución de sistemas de ecuaciones lineales ( Fraleigh - Álgebra lineal ), y me pregunto por el significado de los grises que aparecen en la siguiente imagen:
El autor añade:
Sabemos que una ecuación lineal simple en dos incógnitas tiene como conjunto solución una recta en el plano. Del mismo modo, una ecuación lineal simple en tres incógnitas tiene como conjunto de soluciones un plano en el espacio.
¿Cuál es su interpretación analítica y geométrica de ese rombo gris?
La expresión \begin{equation} x + y + z = 1 \end{equation} es sólo una forma corta de decir \begin{equation} \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x + y + z = 1 \}. \end{equation} También se puede pensar en este plano de la siguiente manera. Sea $\langle$ , $\rangle$ denota el producto escalar estándar en $\mathbb{R}^3$ \begin{align} \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x + y + z = 1 \} &= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \langle(x,y,z),(1,1,1)\rangle = 1 \}\\ &= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \langle(x-1,y,z),(1,1,1)\rangle = 0 \}\\ &= \{(x,y,z) +(1,0,0): (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{ and } \langle(x,y,z),(1,1,1)\rangle = 0 \}. \end{align} En otras palabras, su plano es el plano de los vectores que son normales al vector $(1,1,1)$ Traducido por $(1,0,0)$ .
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