¿Cuál es la manera más rápida para mostrar que la integral es igual a cero?

Question

Deje $a=x_0<\ldots<x_n=b$ ser equidistante de los puntos de muestreo con $n$ siendo un número.

¿Cómo se puede demostrar que $$\int_a^b \prod_{k=0}^n(x-x_k) \ \text{d}x=0$$ in a fast way? I showed it by proving that $\prod_{k=0}^n(x-x_k)$ is an odd function w.r.t. $\frac{a+b}{2}$ y, a continuación, sustituyendo a cambiar los límites de integración. Esto fue bastante aburrido y pensé que tal vez hay una rápida e inteligente argumento para demostrar que es cero.

Answer 1

Su forma era en realidad bastante inteligente. ¿Por qué fue largo y tedioso? Creo que después de una adecuada elección de la notación que va a sonar bastante trivial. En cualquier caso, su idea es la mejor opción, eso es seguro.

Espero que ayude,

Answer 2

Tomar una arbitraria monic polinomio $f(x)$ grado $n+1$ y considerar la $n$-ésimo grado de interpolación polinómica $p(x)$ a través de la $n+1$ puntos $$(x_0,f(x_0)),\ldots,(x_n,f(x_n)).$$ We have $f^{(n+1)}(x)\equiv (n+1)!$ así que por el error de interpolación fórmula $$f(x)-p(x)=\prod_{k=0}^n(x-x_k).$$ The function $f(x)-p(x)$ has $n+el 1$ zeros evenly spaced along the interval $[a,b]$. We can take the Newton-Cotes evenly-spaced approximation with those $n+el 1$ sample points for the integral of this function, which is exact for polynomials up to degree at least $n+el 1$. But $f-p$ is a polynomial of degree at most $n+1$, and is zero at all sample points, so $$\int_a^b \prod_{k=0}^n(x-x_k)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)-p(x)\;\mathrm{d}x=0$$ QED.

Answer 3

Usted puede cambiar por $(a+b)/2$ primera. A continuación, el producto de la primera y la última factores es de la forma $(x - c)(x + c) = x^2 - c^2$, como es el producto de el segundo y último de los factores, y así sucesivamente. Pero además, hay un "medio" de los factores que se acaba de $x$, por lo que el producto total es impar. Dado que el dominio de integración es de$-(a+b)/2$$(a+b)/2$, la integral de esta función impar es igual a cero.