Dejemos que $R$ sea un dominio ideal principal pero no un campo, y sea $M$ ser un $R$ -módulo. Muestra lo siguiente:
(i) Sea $p \in R$ sea un elemento irreducible y $r \in R \setminus \{0\}$ . Entonces $(R/ \langle r \rangle)[p] \cong R/ \langle p^n \rangle$ , donde $n=\max\{k \in \mathbb N_0 : p^k\mid r\}$ .
(ii) $M$ es simple si $\exists \space p \in R$ irreducible tal que $M \cong R/ \langle p \rangle$ .
Estoy bastante atascado en ambos puntos.
En (i) he intentado demostrarlo por inducción en $\mathbb N_0$ pero sólo pude probarlo para el caso base $n=0$ : Si $n=0$ entonces $R/ \langle p^n \rangle=R/ \langle 1 \rangle=0$ . Ahora, $$(R/ \langle r \rangle)[p]=\{\overline{a} \in R/ \langle r \rangle : p^m\overline{a}=0 \space \text{for some } m \in \mathbb N\}=\{a \in R : p^ma \in \langle r \rangle \space \text{for some } m \in \mathbb N \}$$
Si llamo a este conjunto $S$ (que también es un submódulo), entonces me gustaría concluir $S=\langle r \rangle$ . La inclusión $\langle r \rangle \subset S$ es inmediato. Ahora toma $s \in S$ entonces $p^ms=rq$ . Utilizando el hecho de que $R$ es un UFD, se puede deducir que $p^m \sim q$ entonces $p^ms=rup^m$ para algunos $u \in \mathcal U(R)$ De aquí se deduce $s=ru \in \langle r \rangle$ .
No pude probar el paso de inducción, tal vez la inducción no es la mejor manera de atacar este problema.
En cuanto a (ii), podría demostrar que $M \cong R/ \langle p \rangle \implies M$ es simple: ya que $p$ es irreducible, también es primo, como estamos en un PID, esto implica $\langle p \rangle$ es máxima, por lo que $R/ \langle p \rangle$ es simple, se deduce inmediatamente $M$ es simple.
Agradecería sugerencias para demostrar (i) y la otra implicación en (ii). Gracias de antemano.
