¿Distribución de un real aleatorio con dígitos binarios i.i.d. Bernoulli(p)?

Question

Dejemos que $X_1, X_2, X_3, \ldots$ sea una secuencia infinita de i.i.d. Bernoulli( $p$ ) y definir el número real aleatorio $X = (0.X_1X_2X_3\ldots)_2$ .

Pregunta(s) : ¿Qué se puede demostrar sobre la distribución de $X$ (para la arbitrariedad $p$ )? ¿Son estos singular ¿Distribuciones? ¿Qué pasa con sus momentos, etc.? ¿Es cierto que $E[X]=p$ ?

Aquí hay algunas fotos de mis simulaciones:

En la imagen anterior, las FCD de la parte superior izquierda a la inferior derecha tienen valores crecientes de $p$ . (En todos los casos, las simulaciones sugieren que $E[X]=p$ .)

En ambos histogramas, las barras muestran la muestra aleatoria simulada de i.i.d. $X$ y el pequeño punto negro cerca de la parte superior de cada barra muestra el valor calculado de $P(X\in \text{cell})$ para cada celda, basándose en las series infinitas de la FCD que se indican a continuación. (La concordancia es excelente).

Evidentemente hay una naturaleza fractal en estos objetos, y no estoy seguro del tipo de distribución real, en cuanto a si son singulares (en lugar de absolutamente continuos o discretos). En cualquier caso, la pendiente de cada FCD (que no sea para $p=\frac{1}{2}$ ) parece ser discontinua en cada punto "diádico", es decir, en cada $x=k\,2^{-m}$ para números enteros positivos $k,m$ .

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Motivación : En un publicar en otro lugar , demostré que si $p=\frac{1}{2}$ entonces $X\sim \text{Uniform}[0,1]$ Así que, naturalmente, me pregunté por este caso más general. La misma forma de argumentar (mediante la unión disjunta) que se presenta allí da la siguiente serie infinita: $$\begin{align} P(X>x)&=P(X_1>x_1)\\ &+P(X_1=x_1\,\land\,X_2>x_2)\\ &+P(X_1=x_1\,\land\,X_2=x_2\,\land\,X_3>x_3)\\ &+\cdots\\ \\ &=p\,(1-x_1)\\ &+p\,^{x_1}\,(1-p)^{(1-x_1)}\,p\,(1-x_2)\\ &+p\,^{x_1+x_2}\,(1-p)^{(1-x_1)+(1-x_2)}\,p\,(1-x_3)\\ &+\cdots \end{align}$$ para cualquier $x=(0.x_1x_2x_3\ldots)_2\in[0,1)$ donde, WLOG, siempre elegimos la única representación binaria de $x$ que no tiene una cola infinita de $1$ s. Un algoritmo que utiliza sólo la primera $n$ bits de $x$ para aproximar la FCD de $X$ a saber.., $P(X\le x)$ Por lo tanto, se describe con el siguiente pseudocódigo muy sencillo:

sum <- 0 
term <- 1 
for i in {1,...,n}:
    if x[i] == 1: 
        term <- term*p
    else: 
        sum <- sum + term*p
        term <- term*(1 - p) 
return (1 - sum)

Answer 1

En respuesta a sus preguntas:

• $E[X] = \sum_i 2^{-i} E[X_i]= \sum_i 2^{-i} p = p$
• $\text{Var}[X] = \sum_i \left(2^{-i}\right)^2 \text{Var}[X_i] = \sum_i 4^{-i}p(1-p) = \frac13p(1-p)$

Para la función de distribución acumulativa, se pueden calcular (o aproximar arbitrariamente) las probabilidades acumulativas utilizando:

• $\Pr\left(X \le \frac{x}2\right) = (1-p)\Pr\left(X \le x\right)$ para $0 \le x \le 1$
• en particular $\Pr\left(X \le 2^{-n}\right) = (1-p)^n$ para un número entero no negativo $n$
• $\Pr\left(X \le \frac12+\frac{x}2\right) = (1-p)+p\Pr\left(X \le x\right)$ para $0 \le x \le 1$
• en particular $\Pr\left(X \le 1-2^{-n}\right) = 1-p^n$ para los enteros no negativos $n$

Estos crean los patrones fractales en sus gráficos, e impiden que la función de distribución acumulativa sea diferenciable en cualquier díada racional $x=\frac{m}{2^n}$ cuando $p \not \in \{0,\frac12,1\}$ ya que una de las derivadas de la izquierda y de la derecha se acercaría a cero y la otra a infinito, por lo que se trata de distribuciones singulares.

También permiten el cálculo o la aproximación de valores individuales. Por ejemplo

• $\frac23 = 0.101010101\ldots_2$ y $\Pr\left(X \le \frac23 \right)= \dfrac{1-p}{1-p+p^2}$

• $\frac1e = 0.010111100\ldots_2$ y $\Pr\left(X \le \frac1e \right)$ es ligeramente superior a $1-p-p^2+p^3-p^5+2p^6-p^7$