¿Cómo determinar: la matriz de un mapa lineal, la nulidad y el rango?

Question

Mi profesor no da ejemplos en sus notas de clase, estoy tratando de desarrollar el método para hacer esta pregunta del examen:

Dejemos que $U = P3(\mathbb{R})$ (el espacio vectorial de los polinomios de grado máximo 3 en una variable formal $t$ ).

Entonces $f : U R$ es el mapa lineal denotado por $f(u) = u(1)$ , donde $u(1)$ es la derivada de $u$ (con respecto a $t$ ) evaluado en $t = 1$ .

1) Determinar la matriz de $f$ con respecto a las bases $\{1,t,t2,t3\}$ y $\{1\}$ .

2) Determinar el $rank$ y el $nullity$ de $f$ y nd a $basis$ de la $kernel$ de $f$ .

Answer 1

El método es sencillo $P_3(\Bbb{R})$ tiene $\{1,x,x^2,x^3\}$ como base y $\Bbb{R}$ es unidimensional con $\{1\}$ como base. Las derivadas de los vectores base de $U$ son ${0,1,2x,3x^2}$ y así la matriz de $f$ en las bases dadas es

$$F=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\end{bmatrix}$$

Obviamente $f$ es de rango $1$ porque el codominio es unidimensional y $f$ no es idéntico $0$ .

El núcleo es el conjunto de polinomios

$$\{a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,\, a_1+2a_2+3a_3=0\}$$

Es un hiperplano de $U$

Answer 2

Una pista:

para un polinomio $a+bx+cx^2+dx^3$ su mapa lineal actuar como: $$ f(a+bx+cx^2+dx^3)=b+2c+3d $$

En notación vectorial con la base estándar $\{1,x,x^2,x^3\}$ y $\{1\}$ esta es la transformación: $$ \begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix} \to [b+2c+3d] $$ que está representado por la matriz: $$ f=[0,1,2,3] $$ $$ [0,1,2,3]\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d \end{bmatrix} = b+2c+3d $$

Ahora puedes ver fácilmente cuál es el núcleo de esta transformación y encontrar la respuesta a la pregunta 2).

Answer 3

La idea general se describe aquí: https://www.youtube.com/watch?v=0nTKoXOC8qI&index=59&list=PLlXfTHzgMRUIqYrutsFXCOmiqKUgOgGJ5 Para ver un ejemplo con polinomios, vea unos vídeos más abajo en la lista. Esos vídeos son para transformaciones sobre el propio espacio. Al pasar de un espacio a otro, la única diferencia es que hay que elegir una base diferente en cada espacio.

En su ejemplo, las bases están dadas. El resultado será un $1\times 4$ matriz, cada columna correspondiente a cada uno de los elementos de la primera base, que representa la descomposición del resultado de la transformación con respecto a la otra base. Esto puede ser un poco confuso ya que el espacio objetivo es unidimensional y la descomposición es trivial.

$1\rightarrow 1'= 0 \text{, and 0 evaluated at 1 is 0}$

$t\rightarrow t'= 1 \text{, and 1 evaluated at 1 is 1}$

$t^2\rightarrow (t^2)'= 2t \text{, and 2t evaluated at 1 is 2}$

$t^3\rightarrow (t^3)'= 3t^2 \text{, and $ 3t^2 $ evaluated at 1 is 3}$

Por lo tanto, la matriz es $A=\left[\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\right]$

Una base (elegida arbitrariamente) para el espacio nulo de esta matriz es

$$\left \{ \begin{bmatrix}\ 1\\0\\0\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\ 0\\2\\-1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\ 0\\3\\0\\-1 \end{bmatrix}\right\}$$ que corresponde a la siguiente base para el núcleo $$ \left\{ 1, 2x - x^2, 3x-x^3 \right\} $$

Todo esto se describe con el máximo detalle y con ejercicios en la sección de álgebra lineal del sistema de lemas en http://lem.ma .