$h_i = \sum_{j=1}^nh_jp_{ij}$ , donde $p_{ij} = \binom{n}{j} (\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j}$ ,demostrar $h_i = \frac{i}{n}$

Question

Dejemos que $h_0 = 0, h_n = 1, h_i = \sum_{j=1}^nh_jp_{ij}$ cuando $i = 1$ a $n-1$ y $p_{ij} = \binom{n}{j} (\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j}$ ¿Cómo podría probar $h_i = \frac{i}{n}$ para todos $i = 0$ a $n$ .

Intenté encontrar la relación entre $h_i$ y $h_{i+1}$ y luego utilizar el método de inducción, pero la relación es demasiado complicada. ¿Podría alguien ayudarme con este problema? Muchas gracias.

Answer 1

Puedo demostrar la identidad, por lo que es, suponiendo $h_i=i/n$ la igualdad se cumple.

$$S_n=\sum_{j=1}^n\frac{j}{n}p_{ij} =\sum_{j=1}^n\frac{j}{n} \binom{n}{j} (\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j}=$$

$$=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nj \binom{n}{j} (\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j}$$

Consideramos ahora esta identidad:

$$j \dbinom n j = n \dbinom {n - 1} {j - 1}$$

$$S_n=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nn \dbinom {n - 1} {j - 1}(\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j}=\frac{n}{n}\frac{i}{n}\sum_{j=1}^n\dbinom {n - 1} {j - 1}(\frac{i}{n})^{j-1}(1-\frac{i}{n})^{n-j}=$$

$$=\frac{i}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\dbinom {n-1} {j}(\frac{i}{n})^j(1-\frac{i}{n})^{n-j-1}=\frac{i}{n}\left(\frac{i}{n}+1-\frac{i}{n}\right)^{n-1}=\frac{i}{n}$$

Esto demuestra la identidad para $n>0$ . Se satisface trivialmente por $n=0$ .