Análisis complejo: Reescritura $\cos^{-1}{i}$ en forma algebraica

Question

Estoy atascado en este problema (análisis complejo), mi respuesta no es la que aparece en el libro:

Reescritura $\cos^{-1}{i}$ en la forma algebraica. A: $k\pi + i \frac{\ln{2}}{2}\ \forall\ k \in \mathbb{Z}$

Así que probé este enfoque para solucionarlo:

• Como $\cos^{-1}{z} = -i \ln{\left( z \pm \sqrt{z^2 - 1} \right)}$ , haciendo $z = i$ y $i^2 = -1$ cuando sea necesario, tenemos

$$\cos^{-1}{i} = -i \ln{\left( i \pm \sqrt{i^2 - 1} \right)} = -i \ln{\left( i \pm \sqrt{-2} \right)} = -i \ln{\left( i \pm i \sqrt{2} \right)}$$

• Factorización $i$ y separando el logaritmo del producto obtenido en la suma de logaritmos:

$$\cos^{-1}{i} = -i \ln{\left[ i \left( 1 \pm \sqrt{2} \right) \right]} = -i \big[ \ln{i} + \ln{\left( 1 \pm \sqrt{2} \right)} \big]$$

• Resolver $\ln{i}$ por separado, obtenemos $\ln{i} = \pi i \left( 2k + \frac{1}{2} \right)$

• Resolver $\ln{\left( 1 \pm \sqrt{2} \right)}$ Por otro lado, se obtiene

$$\ln{\left( 1 \pm \sqrt{2} \right)} = \begin{cases} \ln{\left( \sqrt{2} + 1 \right)} + \pi i \cdot 2k & (+) \\ \ln{\left( \sqrt{2} - 1 \right)} + \pi i \left( 2k + 1 \right) & (-) \end{cases}$$

• Sustituyendo estas expresiones en la original, tenemos

$$\cos^{-1}{i} = \begin{cases} \pi \left( 4k + \frac{1}{2} \right) -i \ln{\left( \sqrt{2} + 1 \right)} & (+) \\ \pi \left( 4k + \frac{3}{2} \right) -i \ln{\left( \sqrt{2} - 1 \right)} & (-) \end{cases}$$

que obviamente no se corresponde con el libro. ¿Hay algo mal?

Gracias de antemano :)

Answer 1

Permítame obtener una respuesta similar a la suya por otros medios. En lugar de utilizar la forma algebraica del coseno inverso, invertiré para resolver $x=e^{iz}$ y luego invertir de nuevo para obtener $z$ . Llevar a cabo esto da

\begin{align} z=\cos^{-1} i &\underset{\text{invert}}{\implies} i=\cos z=\frac{1}{2}(x+x^{-1})\implies x^2-2i x+1=0\\ &\underset{\text{solve}}{\implies} x=\dfrac{1}{2}\left(2i\pm \sqrt{-8}\right)=\pm i(\sqrt{2}\pm 1)\\ &\underset{\text{invert}}{\implies} z=-i\log x=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi n-i\log(\sqrt{2}\pm 1) \end{align}

Esto tampoco parece coincidir con el libro...

Answer 2

La respuesta del libro es errónea.