Teorema de Rolle para una función continua en un intervalo abierto

Question

Si una función $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ es continua en $[a, b]$ diferenciable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ entonces $f'$ es $0$ en algún lugar de $(a,b)$ .

Si simplemente exigimos $f$ para ser continua en $(a,b)$ entonces el teorema falla porque $f$ podría tener un "salto" en $a$ por lo que el valor de $f$ en $a$ podría ser muy diferente del valor de $f$ en los barrios de la derecha de $a$ (y de forma similar para $b$ ).

Pero, ¿y si relajamos el requisito de que $f$ se definirá en $a$ y $b$ y asumir que allí sólo tiene límites unilaterales? Así que permítanme expresar esto:

Si una función $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ es continua en $(a, b)$ diferenciable en $(a,b)$ y $\lim\limits_{x\to a^+} f(x) = \lim\limits_{x\to b^-} f(x)$ entonces $f'$ es $0$ en algún lugar de $(a,b)$ .

¿Es esto cierto?

Answer 1

Sí, ampliar el dominio de $f$ a $[a,b]$ y aplicar el resultado original.

Answer 2

Si $\lim_{x \to a^+}f(x) = \lim_{x \to b^-}f(x) = c$ (digamos), entonces podemos definir una función $g: [a,b] \to \mathbb R$ por $$ g(x) = \begin{cases} c & x = a {\rm \ \ or \ \ } x = b\\ f(x) & x \in (a,b)\end{cases}$$ Esta función $g$ ¡es continua! Entonces podemos aplicar el teorema de Rolle a $g$ para obtener la declaración que desea.