Teorema del residuo con la enésima potencia de los puntos singulares

Question

Estoy resolviendo algunos ejercicios del libro de Análisis Complejo de Busam, Freitag. Hay una pregunta relacionada con el teorema del residuo, pero no he podido encontrar una solución. La curva está centrada en $1$ y tiene un radio de $1$ .

$$\int_{\alpha _{1;1}}\left(\frac{z}{z-1}\right)^n\,\mathrm{d}z,\quad n\in\mathbb{N}$$

El $n$ -enésima potencia es lo que me hace confundir la solución. La respuesta proporcionada por el libro es $2\pi in$

La segunda pregunta es:

$$\int_{\alpha _{0;r}}\frac{1}{(z-a)^n(z-b)^m}\,\mathrm{d}z,\quad\lvert a\rvert <r < \lvert b\rvert,\quad n,m\in\mathbb{N}$$

Y tiene una respuesta compleja relacionada con los binomios como: $$2\pi i(-1)^m {n+m-2\choose n-1}\frac{1}{(b-a)^{n+m-1}}$$

No tengo ni idea de cómo resolverlas, ¿Cómo se resuelven estas cuestiones?

Answer 1

En el primero tienes un polo de orden $n$ en $z=1$ por lo que el residuo relevante es

$$\frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left ( (z-1)^{n-1} f(z) \right ) \right |_{z=1}=\frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left ( z^n \right ) \right |_{z=1}.$$

Aquí las derivadas se calculan fácilmente.

En el segundo tienes un polo de orden $n$ en $z=a$ por lo que el residuo relevante es

$$\frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left ( (z-a)^{n-1} f(z) \right ) \right |_{z=a}=\frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left ( (z-b)^{-m} \right ) \right |_{z=a}.$$

Aquí las derivadas son un poco más molestas de calcular para el general $n,m$ debido a la necesidad de hacer un poco de juego con los factoriales.

Answer 2

Para la primera parte, observe que

$$\left( \frac{z}{z-1} \right) ^n = \left( \frac{1}{z-1} + 1 \right)^n = \sum_{i=0}^n (z-1)^{-i} \binom{n}{i}$$

De ello se desprende que el residuo en $1$ es $\binom{n}{1} = n$ .

Para la segunda parte, sólo tenemos que comprobar el residuo en $a$ ya que es el único polo dentro del contorno.

Se puede hacer un argumento similar, pero es un poco más doloroso, así que probablemente sea mejor utilizar las fórmulas habituales para los residuos en términos de derivadas.