Comportamiento de $P(A > B \mid A, B < \kappa)$ en función de $\kappa$

Question

Supongamos dos variables independientes y continuas $A$ y $B$ con densidades $f_A$ y $f_B$ . Sea $F_A$ y $F_B$ denotan las respectivas funciones de distribución acumulativa, con $F(t) = \int_{-\infty}^t f(x) \;\; dx$ . Por último, supongamos que $\mathbb{E}(A) \geq \mathbb{E}(B)$ .

Ahora, considere la probabilidad de que una muestra de $A$ es mayor que una muestra de $B$ condicionada a que ambas muestras estén por debajo de un valor $\kappa$ ; es decir, $P(A > B \mid A, B < \kappa)$ . Esta probabilidad viene dada por $$R(\kappa) = \displaystyle\int_{-\infty}^\kappa \frac{f_A(x)F_B(x)}{F_A(\kappa)F_B(\kappa)} \;\; dx.$$

Estoy tratando de mostrar que $R(\kappa)$ es una función monótona creciente. Al diferenciar sobre $\kappa$ Termino con $$R(\kappa)^\prime = \frac{f_A(\kappa)}{F_A(\kappa)} - R(\kappa)\times\left(\frac{f_A(\kappa)}{F_A(\kappa)} + \frac{f_B(\kappa)}{F_B(\kappa)}\right).$$

Hasta aquí todo bien, ahora sólo tengo que demostrar que $R(\kappa)^\prime$ es estrictamente no negativo. Pero aquí es donde estoy atascado.

La razón por la que intento mostrar esto es que he encontrado este patrón con diferentes familias de distribuciones, como la Normal (igual $\sigma^2$ para ambos $A$ y $B$ ) y la exponencial. Véase la figura adjunta.

¡Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias.

Answer 1

El teorema fundamental del cálculo establece lo siguiente,

Dejemos que $f$ sea una función continua de valor real definida en $[a,b]$ y que $F$ sea una función definida en $[a,b]$ por $$F(x) = \int_a^xf(t)dt.$$ Entonces $F$ es uniformemente continua en $[a,b]$ diferenciable en $(a,b)$ y $$F'(x) = f(x), x \in(a,b)$$

Por lo tanto, creo que, con su $$R(k)=\int_{-\infty}^k {f_A(x)F_B(x) \over F_A(k)F_B(k)}dx$$ $$R'(k) = {f_A(k)F_B(k)\over F_A(k)F_B(k)}={f_A(k)\over F_A(k)} > 0 ,$$ desde $f_A(x)\ge0$ para todos $x$ .

¿Podría explicar cómo llegó a su derivado de $R(k)$ ?