Ejercicio complicado en la educación a distancia

Question

Tengo este ejercicio extraído de un examen de teoría cualitativa de la educación a distancia (en la que vamos a estudiar la existencia y unicidad de soluciones, y la estabilidad mediante la función de Lyapunov)

No sé cómo resolverlo: Para 1) está bien, pero a partir de 2) no tengo idea.

Recibe tres parámetros $L,a$$\alpha$, consideramos que el la ecuación diferencial : $$(E)\qquad x"+\alpha x' +x + \sin x =L, \ t\geq0$$

1) Muestran que el consumo máximo de soluciones de $(E)$ son definidas en todos los $\mathbb {R}$.

2) Suponga que $a>0$$\alpha \geq 0$.

a) Establecer la existencia de una constante positiva $C$ tal forma que :

$\displaystyle \frac{a}{4}x^2+\frac{y^2}{2}\leq C+1+\frac{L^2}{a}$
(Usted puede utilizar el funcional $V(x,y)=\frac12 y^2+\frac{a}{2}x^2-L x-\cos x)$

(b) Deducir que las soluciones de $(E)$ están delimitadas al $t \rightarrow + \infty$ .

(3) considerar la modificación de la función $V_{\delta}(x,y)= V(x,y) +\delta xy (\delta >0)$.

(a) Escriba la ecuación satisfecho por: $\dfrac{dV_{\delta}}{dt}$.

(b) Demostrar que, para $\delta$ lo suficientemente pequeño, $$\frac{ax^2}{8}+\frac{y^2}{8}\leq V_{\delta}(x,y)+1+\frac{2L^2}{a}$$

(c) Deducir que si $a>0$$\alpha >0$, entonces existe una constante $M=M(\alpha,a,L)$ (independientemente de los valores basales) tales que $$\forall (x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2,\ \existe ~ T_0 ,\text{ tales que } > \forall t\geq T_0,\ x^2(t)+y^2(t)\leq M.$$

Para 1) y 2) no tengo un problema, gracias a @robjohn :Pequeña pregunta acerca de la educación a distancia

Para 3)

a) tengo que : $\displaystyle \frac{\mathrm{d}V_{\delta}}{\mathrm{d}t}=(\delta-\alpha)y^2-\delta y'$

pero no sé cómo resolver c)

Alguien me puede ayudar?

Gracias.

Answer 1

Para $a,\alpha>0$ podemos demostrar que $x,\dot{x},\ddot{x}$ son acotados, $\dot{x}$ es de cuadrado integrable, $\lim_{t\rightarrow +\infty}\dot{x}(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\ddot{x}(t)=0$, $\lim_{t\rightarrow +\infty}\dot{x}(t)=x^*$ con $x^*$ una raíz de la ecuación de $ax+\sin x=L$ e (a)-(c).

Prueba: Desde el sistema de la ecuación (E) tenemos

$\frac{d}{dt}\big[\frac{1}{2}\dot{x}^2(t)+\alpha\int_0^t{\dot{x}^2(s)ds}+\frac{a}{2}x^2(t)-\cos( x(t))-Lx(t)\big]=0$.

Por lo tanto

$\frac{1}{2}\dot{x}^2(t)+\alpha\int_0^t{\dot{x}^2(s)ds}+\frac{a}{2}x^2(t)-\cos( x(t))-Lx(t)=c.$

Usando la desigualdad de $-Lx(t)\geq -\frac{a}{4}x^2(t)-\frac{L^2}{a}$ en la identidad tenemos encima

$\min\{\frac{1}{2},\frac{a}{4}\}[\dot{x}^2(t)+x^2(t)]\leq \frac{1}{2}\dot{x}^2(t)+\alpha\int_0^t{\dot{x}^2(s)ds}+\frac{a}{4}x^2(t)\leq c+1+\frac{L^2}{a}$

es decir, (c) es verdadero y $x\in L_{\infty}$, $\dot{x}\in L_{\infty}\cap L_{2}$. A partir de (E) también tenemos $\ddot{x} \in L_{\infty}$. Ahora Barbalat lema puede ser utilizado para obtener $\lim_{t\rightarrow +\infty}\dot{x}(t)=0$. También se $\int_0^{\infty}{\ddot{x}(s)ds}=-\dot{x}(0)$ $\ddot{x}$ uniformemente continua y, por tanto,$\lim_{t\rightarrow +\infty}\ddot{x}(t)=0$. Como resultado $x$ converge hacia una raíz de la ecuación $ax+\sin(x)=L$.