Continuidad de $f(x,y) = \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ en $(x,y) = (0,0)$

Question

Continuidad de $f(x,y) = \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ en $(x,y) = (0,0)$

Necesito especificar el valor de $f(x,y)$ que hace que la función dada sea continua.

Había intentado dar una relación arbitral entre $y$ y $x$ pero como $(x, y)$ se acerca a $(0, 0)$ el movimiento arbitral no siempre puede representarse como una representación funcional entre $y$ y $x$ .

¿Cómo podría resolver este problema con rigor?

Answer 1

Recordando que $|x|\,|\cos(x)|\le |\sin(x)|\le |x|$ para $0\le |x|\le \pi/2$ afirmamos que para $x^2+y^2\le \pi/2$

$$|\cos(x^2+y^2)|\le \left|\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}\right|\le 1$$

por lo que la aplicación del teorema de la compresión revela

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$$

Answer 2

Quiero añadir algo que quizá sea demasiado largo para un comentario, que aparte de mostrar los cálculos, también es importante saber lo que estamos tratando de hacer aquí.

Para demostrar rigurosamente que es continua en $(0,0)$ no se pueden tomar simplemente caminos de aproximación, sino que hay que utilizar la definición de continuidad en un punto, es decir

$$\forall \epsilon >0, \exists r > 0, \text{ s.t. whenever } (x,y) \in B_r((0,0)), \text { we have } |f(x,y) -1 | < \epsilon$$

Y la técnica de Mark Viola podría utilizarse para demostrar que lo anterior es cierto (+1).

Answer 3

Para $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x^2 +y^2}{x^2+y^2}$ , utilizando $r^2=x^2+y^2$ obtenemos $\lim_{r\rightarrow 0} \frac{sin(r^2)}{r^2}$ = $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{2 \cdot r \cdot \cos(r^2)}{2r}$ = $\lim_{r \rightarrow 0} \cos(r^2)=1$ Por lo tanto $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{sin(x^2 +y^2}{x^2+y^2}=1$ .