Si $f$ es bdd, integrable, $F(x) = \int_a ^x f$ para $x \in [a,b]$ , demuestre que $F$ Uniforme continua, diferenciable y continua en cualquier $c$ , $F'(c) = f(c)$

Question

Demuestre si $f$ está acotado y es integrable en $[a,b]$ y si definimos $F(x) = \int_a ^x f$ para $x \in [a,b]$ entonces

1. $\ F$ es uniformemente continua en $[a,b]$

2. $\ F$ es diferenciable en cualquier punto $c \in [a,b]$ s.t. $f $ es continua en $c$ y $F'(c) = f(c)$

Mi profesor lo llama "Teorema fundamental del cálculo versión 2". Nos dio la pista de usar lo siguiente:

Si $f$ es integrable en el rectángulo $A$ tenemos

$\quad\bullet$ si $ m\le f \le M$ en $A$ entonces $mv(A) \le \int_A f \le Mv(A)$

$\quad\bullet |f|$ es integrable en $A$ y $|\int_A f| \le \int_A|f|$

Donde $v(A)$ es el volumen del rectángulo $ A$

Sinceramente, no estoy seguro de por qué necesitaría estas pistas. No parecen estar relacionadas (al menos para mí) con la FTC en absoluto. ¿Cómo puedo utilizarlas en una prueba de este tipo?

Answer 1

Pista para (1). Para $a\leq x\leq y\leq b$ , $$|F(x)-F(y)|=\left|\int_x^y f(t)dt\right|\leq \int_x^y |f(t)|dt.$$ Pista para (2). Considere la diferencia $$\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)=\frac{1}{h}\int_c^{c+h} (f(t)-f(c)) dt.$$

Answer 2

Necesitará el segundo para la continuidad del uniforme. $f $ está acotado significa que existe $M\ge 0$ tal que $$(\forall x\in [a,b]) \;\; |f (x)|\le M $$

por lo tanto para $x,y \in [a,b],$

$$|F (x)-F (y)|=|\int_x^yf|\le M|x-y|$$ esto demuestra la continuidad uniforme de $F $ en $[a,b] $ .