Grupo de cohomología, $H^{2}(X,\mathbb{Z})$

Question

Estoy leyendo el capítulo I de David Mumford, Abelian Varieties. Al principio del capítulo se muestran los isomorfismos canónicos

$H^{2}(X,\mathbb{Z})\cong Alt^{2}(\Lambda,\mathbb{Z})$ .

Pero primero me gustaría entender la estructura del $H^{2}(X,\mathbb{Z})$ Esa es la definición. No la encontré en Mumford, D. También busqué en Complex abelian varietieis, Herbert y Cristine, sin éxito.

Answer 1

$X$ es un grupo de Lie compacto y conectado de dimensión $g$ , topológicamente un producto de $2g$ círculos $S^1$ y $$H^\bullet (X, \mathbb{Z}) = \bigoplus_{n\ge 0} H^n(X, \mathbb{Z})$$ es el cohomología singular de $X$ . Es un anillo graduado con un producto "gradualmente conmutativo" $$\smile\colon H^p (X,\mathbb{Z}) \times H^q (X,\mathbb{Z}) \to H^{p+q} (X,\mathbb{Z}),$$ llamado el producto en forma de taza . Mumford utiliza el hecho de que el producto taza induce un isomorfismo $$\Lambda^r H^1 (X,\mathbb{Z}) \xrightarrow{\cong} H^r (X, \mathbb{Z})$$ (esto está claro para un producto de círculos, una vez que se conoce la definición del producto de copa) y el primer grupo de cohomología singular se identifica entonces como $$H^1 (X,\mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom} (\pi_1 (X), \mathbb{Z}).$$ El argumento de Mumford es bastante general, y para entenderlo se puede consultar cualquier libro de texto de topología algebraica.