Aplicación del Nullstellensatz

Question

La pregunta es la siguiente

Dejemos que $k\subset K$ sean campos algebraicamente cerrados. Y $I \leq k[x_1,...x_n]$ un ideal.

Demuestre que si $f \in K[x_1 ,...x_n]$ se desvanece en $Z(I)$ se desvanece en $Z_K(I)$ .

Donde $Z(I)$ es el conjunto de ceros de $I$ en $k^n$ , $Z_K(I)$ es el conjunto de ceros en $K^n$ .

He intentado probar esto siguiendo la prueba del nullstellensatz pero estoy atascado, La única conexión que se me ocurre entre $Z(I)$ y $Z_K(I)$ es de inclusión que no parece ayudar.

Las sugerencias serán muy bienvenidas.

Answer 1

La idea es la siguiente:

Consideramos el ideal $J$ generada a partir del conjunto te $I$ en $K[x_1, \dots , x_n]$ .

¿Cuál es la estructura de este ideal?

$J=\{\sum_{i=1}^kh_if_i : f_i\in I ,h_i\in K[x_1, \dots , x_n]\}$

Observamos que

$Z(I)=Z_K(J)$

De hecho: Dejemos que $x\in k^n$ tal que $x\in Z(I)$ . Entonces, para cada $r=\sum_{i=1}^kh_if_i\in J$ tenemos que

$r(x)=0$ así que

$x\in Z_K(J)$

Por el contrario, si $x\in K^n$ tal que $x\in Z_K(J)$ entonces, si elegimos un $r\in I\subseteq J$ , obtenemos que

$r(x)=0$

pero $r$ es un polinomio con coeficientes en $k$ y $k$ es algebraicamente cerrado, por lo que

$x\in k^n$ y esto significa

$x\in Z(I)$

eso es lo que queríamos probar.

Por hipótesis,

$Z_K(I)=Z_K(J)=Z(I)\subseteq Z_K(f)$

eso es lo que queríamos probar.

Hay un problema con esta prueba. Si se mantiene seguramente para $n=1$ pero cuando tenemos $n>1$ no está claro que si

$r(x)=0$ entonces $x\in k^n$

Answer 2

No estoy seguro de esto, pero si dices que $k$ es algebraicamente cerrado y $I\vartriangleleft k[x_1,...,x_n],$ todos los ceros de los polinomios en $I$ estará en $k^n,$ así que $Z(I)=Z_K(I),$ y obviamente si $f(P)=0\ \forall\ P\in Z(I)\in k^n$ tenemos que $f(P)=0\ \forall\ P\in Z_K(I)\in K^n.$