Solución de la ecuación Pell like

Question

Si busco soluciones de $x^2-2y^2= 24n+23,$

para $ n \in \mathbb N$ y quiero saber si hay patrones en las soluciones, es decir, si acaso las $x,y$ depende de $24n+23$ de alguna manera interesante?

Answer 1

Esto dice $x^2 - 2y^2 \cong 23 \pmod{24}$ que tiene soluciones cuando $x,y$ tienen residuos en $\{1,5,7,11,13,17,19,23\}$ modulo $24$ . Para los números enteros $x$ y $y$ Esto es cuando ambos $x$ y $y$ son Impares y ninguno es divisible por $3$ . Entonces, para cualquier par de este tipo $x$ , $y$ tenemos $n = \frac{1}{24}(x^2 -2y^2 - 23)$ es un número entero.

La forma más fácil de ver que $n$ es un número entero es sólo mirar el $64$ casos. \begin{align*} &x & &y & &24(n) = x^2 -2 y^2 - 23 \\ 1+{}&24 k & 1+{}&24 m & &24(-1 + 2k + 24k^2 - 4m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 5+{}&24 m & &24(-3 + 2k + 24 k^2 - 20 m-48 m^2) \\ 1+{}&24 k & 7+{}&24 m & &24(-5 + 2k + 24k^2 - 28 m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 11+{}&24 m & &24(-11 + 2k + 24k^2 - 44 m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 13+{}&24 m & &24(-15 + 2k + 24k^2 - 52 m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 17+{}&24 m & &24(-25 + 2k + 24k^2 - 68 m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 19+{}&24 m & &24(-31 + 2k + 24k^2 - 76 m - 48m^2) \\ 1+{}&24 k & 23+{}&24 m & &24(-45 + 2k + 24k^2 - 92 m - 48m^2) \\ 5+{}&24 k & 1+{}&24 m & &24(0 + 10k + 24k^2 - 4m - 48m^2) \\ &\vdots & &\vdots &&\quad \vdots \end{align*}