¿El potencial gravitatorio de un planeta en órbita es siempre igual a menos la velocidad al cuadrado?

Question

Digamos que un planeta (masa $m$ ) orbita alrededor de una estrella (masa $M$ ) en un círculo perfecto, por lo que está en movimiento circular.

$F=ma$ y la fuerza gravitatoria entre dos masas $F=\frac{GMm}{r^2}$ así que

$\frac{GMm}{r^2}=ma$

$\frac{GM}{r^2}=a$

Y en movimiento circular $a=\frac{v^2}{r}$ así que

$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}$

$\frac{GM}{r}=v^2$

Y potencial gravitacional $V=-\frac{GM}{r}$

Así que $v^2=-V$

¿Existe alguna razón (cualitativa/menos matemática/espinosa) por la que esto sea así? (¿o me he equivocado?) y ¿se limita al caso específico del movimiento circular perfecto?

Answer 1

Acabas de tropezar con el teorema del virial .

Básicamente afirma que en un sistema ligado, la media de la energía potencial $V$ está relacionada con la media de la energía cinética $T$ como $$\frac{\langle V \rangle}{2} = - \langle T\rangle$$ donde los corchetes angulares indican una media temporal.

Nótese que la fórmula anterior es específica sólo para un potencial que va como $1/r$ . Como se indica en el enlace de Wikipedia anterior, la fórmula más general es la siguiente $$ \frac{n\langle V \rangle}{2} = \langle T\rangle$$ para cualquier potencial que vaya como $r^n$ .

Answer 2

Energía potencial gravitatoria $U$ se mide en julios y es proporcional a la masa de la partícula $m$ . Cuando multiplicas tu $v^2 = -\frac{GM}{r}$ por $m$ se puede obtener que la energía cinética de la partícula es 1/2 de la energía potencial $U$ . Está bien para un estado vinculado. Ver el teorema del virial .