Demuestre que f es diferenciable en $0$ ¡! Aunque no es continuo, ¿verdad?

Question

Supongamos que $f(x)$ es igual a $x^2$ cuando $x\in \mathbb{Q}$ y $0$ cuando $x \not\in \mathbb{Q}$

Demostrar que $f$ es diferenciable en $0$ y encontrar la derivada $f'(0)$

¿No debería ser esto obvio, ya que $x^2$ en $0 = 0^2 =0$ y todos los valores que lo rodean son irracionales, y por lo tanto son iguales a 0, y por lo tanto la derivada de $2x$ o $0$ es igual a $0$ ?

No sé cómo demostraría esto matemáticamente, porque seguramente no es continuo.

Answer 1

De hecho, $f$ es continua en $0$ (aunque no en ningún otro punto).

Para ver esto, dejemos $\varepsilon > 0$ y elija $\delta := \sqrt{\varepsilon} > 0$ . Para $x \in \mathbb{R}$ con $|x-0|<\delta$ entonces tienes dos casos:

1. $x \in \mathbb{Q}$ . Entonces $ |f(x) - f(0)| = |x|^2 < \delta^2 = \varepsilon$ .

2. $x \notin \mathbb{Q}$ . Entonces $|f(x) - f(0)| = 0< \varepsilon$ .

Para demostrar que $f$ es diferenciable, utilice la definición, es decir, intente calcular

$$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}.$$

Demuestre que este límite existe y es igual a $0$ . Esto implica de nuevo que $f$ es continua en $0$ ya que es diferenciable.

Answer 2

Decir que todos los valores alrededor de $0$ son irracionales es falso. No importa lo pequeño que sea un intervalo abierto que contenga $0$ habrá algunos números racionales en el intervalo. Si no fuera así, la secuencia $1,1/2,1/3,1/4,\ldots$ que consiste enteramente en números racionales, no se acercaría a $0$ .

Es cierto que si "todo el valor alrededor $0$ " eran números cuyas imágenes bajo la función son $0$ entonces la derivada en $0$ sería $0$ .

Pero tal como están las cosas, hay más trabajo que hacer para encontrar la derivada.

La función que has definido es continua en $0$ pero no en ningún otro punto. Una función no puede ser diferenciable en un punto sin ser continua en ese punto.

Donde dice "irracional, y por lo tanto igual a $0$ ", supongo que quiere decir "irracional, y por lo tanto mapeado a $0$ por esta función".

Mira $$ f'(0)=\lim_{t\to0}\dfrac{f(t)-f(0)}{t-0} = \lim_{t\to0} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to0} \left.\begin{cases} \dfrac{t^2}{t} & \text{if }t\in\mathbb Q, \\[10pt] \dfrac 0 t & \text{if }x\not\in\mathbb Q, \end{cases}\right\} = \lim_{t\to0} \begin{cases} t & \text{if }t\in \mathbb Q, \\ 0 & \text{if }t\not\in\mathbb Q. \end{cases} $$ La cantidad después de " $\lim$ "se puede hacer tan cerca como se desee de $0$ haciendo $t$ lo suficientemente cerca pero no igual a $0$ . Por lo tanto, el límite es $0$ .