Cómo demostrar o refutar que existe un número entero $x$ s.t. $x>0,\,x < 4\cdot99!$ y $x(x+1)$ es divisible por $100!$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$x=\frac{100!}{61\times97}\times91$$ Por aritmética modular podemos verificar que $x+1$ es efectivamente divisible por $61*97$ (y obviamente es $<4\times 99!$ ).
Cómo se hizo: Llegué a esta conclusión con el programa escrito aquí .
Básicamente, toma todas las combinaciones de $2$ primos $p,q$ tal que $50<p,q<100$ $(53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97)$ para que esos primos en particular aparezcan sólo una vez en la factorización de $100!$ (porque si aparece $n\ge2$ veces, ya que $(x,x+1)=1$ o bien $x$ o $x+1$ tendría que ser divisible por $p^{n}$ lo que dificulta las pruebas), y busca una solución de $k$ tal que $$\frac{100!}{pq}\times k<4*99!\iff 25k<pq$$ en $$\frac{100!}{pq}\times k+1\equiv 0 \pmod{pq}$$ El objetivo es el $x+1$ a completa el criterio de divisibilidad.
Por último, emite su números de la suerte :)
