formalización de la teoría de los números reales

Question

¿Alguien sabe cuál es la diferencia entre la teoría de segundo orden de los números reales y la teoría de los números reales formalizada en ZFC? ¿Es alguna de ellas más expresiva que la otra? Dado que los números reales no pueden ser axiomatizados en FOL tenemos que utilizar una de las soluciones anteriores. ¿Qué método utilizan los matemáticos?

Answer 1

Ya que tienes curiosidad, aquí tienes un dato curioso. Los reales computables tienen exactamente la misma teoría de primer orden que los reales "reales". Y para cualquier aplicación del mundo real (ingeniería, física, ...) uno necesita (y puede manipular) sólo los reales computables. Así que podría decirse que no necesitamos nada más que la teoría de primer orden en términos prácticos. Más matemáticamente... $ \def\eq{\leftrightarrow} $

Obsérvese que si se observa con atención la axiomatización categórica de segundo orden de los reales, sólo tiene un axioma de segundo orden $X$ que afirma que todo conjunto acotado de reales tiene un límite superior mínimo, pero este axioma es inútil a menos que también se tengan axiomas que permitan construir conjuntos de reales. Todos los $X$ puede hacer por sí mismo es forzar al metasistema (digamos ZFC) a "ver" que todos los modelos de la axiomatización de segundo orden son isomorfos, simplemente porque $X$ 'invoca' el punto de vista del metasistema (es decir, 'saber' qué son conjuntos de reales). El metasistema va a ser ciertamente equivalente a uno de primer orden (y ZFC ya lo es), porque debe tener un conjunto recursivo de reglas, y por tanto si es consistente entonces tiene un modelo contable. Así que (en palabras de André Nicolas ) el problema de la categorización sólo se traslada hacia arriba.

Para que quede más claro, supongamos que usted cree que la ZFC tiene sentido. Entonces crees claramente que ZFC es consistente. Entonces por una prueba en ZFC usted cree que hay un modelo contable $M$ de ZFC. En $M$ puede encontrar el conjunto $R$ correspondiente a los reales, tal y como lo da una construcción (declaración existencial) en ZFC. $R$ satisface la axiomatización de segundo orden de los reales desde el punto de vista de $M$ pero $R$ sólo tiene un número contable de elementos desde el punto de vista de ZFC. ¿Considera usted que $R$ para ser los verdaderos? No, pero ¿qué son los reales? No se puede decir simplemente "como se construye en ZFC", ya que $M$ es un modelo de ZFC y $R$ es un modelo de su axiomatización elegida según $M$ .

A continuación, puede intentar utilizar la lógica de segundo orden con la semántica de Henkin para axiomatizar los números reales, de modo que sea más "independiente" de los fundamentos. Pero entonces, como se ha mencionado anteriormente, hay que añadir axiomas de existencia de conjuntos para poder utilizar el axioma de supremacía de segundo orden $X$ . ¿Qué podría añadir? La opción obvia sería permitir la construcción de cualquier conjunto $\{ x : P(x) \}$ donde $P$ es algo $1$ -parámetro sobre el lenguaje de la aritmética real. Pero, ¿permitiría usted $P$ para contener sólo cuantificadores de primer orden?

Si es así, todo acaba reduciéndose a (ser conservador sobre) la teoría de primer orden de los reales, porque tales construcciones son equivalentes a expansiones definitorias, y la existencia del supremum de conjuntos acotados definibles de reales es un esquema de primer orden que es verdadero en los reales y, por tanto, en cualquier modelo de su teoría (completa) de primer orden.

Si no, entonces puede construir $N = \{ n : \forall S\ ( 0 \in S \land \forall k\ ( k \in S \to k+1 \in S ) \to n \in S ) \}$ en la teoría resultante $R_2$ . Tenga en cuenta que $R_2$ demuestra fácilmente que $0 \in N$ y también que $\forall k\ ( k \in N \to k+1 \in N )$ Así que $R_2$ puede llevar a cabo la inducción sobre los números naturales de la siguiente manera. Dado cualquier $1$ -sentencia de parámetro $P$ tal que $P(0) \land \forall n \in N\ ( P(n) \to P(n+1) )$ podemos en $R_2$ construir $Q = \{ n : n \in N \land P(n) \}$ y demostrar que $0 \in Q \land \forall k\ ( k \in Q \to k+1 \in Q )$ y luego demostrar que $\forall n \in N\ ( n \in Q )$ (según la definición de $N$ ), que da $\forall n \in N\ ( P(n) )$ . Así, $R_2$ interpreta la aritmética. Tenga en cuenta que $R_2$ tiene un programa verificador de pruebas, y por lo tanto $R_2$ es esencialmente incompleta sintácticamente, a diferencia de la teoría de primer orden de los reales.

Pero $R_2$ tiene un sutil problema de impredicatividad, en el sentido de que puede construir un conjunto de objetos definidos utilizando la cuantificación sobre todos los conjuntos de objetos, incluido el que se está definiendo. Esta circularidad es precisamente lo que llevó a la paradoja de Russell en la teoría ingenua de conjuntos. Así que uno podría preguntarse si $R_2$ tiene sentido o no. Por supuesto, ZFC demuestra que los reales (tal como se construyen en ZFC) satisfacen $R_2$ pero la ZFC es en sí misma impredicativa, así que si lo desea puede trasladar esa pregunta hacia arriba...

Answer 2

Si quiere preguntar cómo matemáticos en lugar de lógicos tratar con los números reales, la respuesta tiende a estar del lado de la teoría de conjuntos. Así, la construcción clásica que utiliza cortes de Dedekind se basa explícitamente en subconjuntos de los racionales, mientras que la construcción que utiliza clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy también implica la teoría de conjuntos para justificar la construcción del cociente. De hecho, la mayoría de los matemáticos tienen problemas para relacionar la distinción entre la lógica de primer y segundo orden, y el hecho de que el conocido axioma de completitud implique la cuantificación de segundo orden tiende a sorprenderles.

Answer 3

Gracias a todos por las respuestas. Últimamente he estado pensando más en el problema de las diferentes construcciones de los números reales. Como podemos ver en los posts anteriores hay algunas construcciones posibles muy interesantes de los reales que son muy similares a la construcción "estándar"(?), en el sentido de que son iguales desde la perspectiva de la lógica de primer orden. Sin embargo, algunos de los temas más importantes de la teoría de los reales no son de primer orden. A saber, la convergencia de las series. Creo que la razón del uso de estos axiomas de segundo orden es que podemos demostrar los teoremas existenciales del análisis (por ejemplo, la existencia de la integral de Lebesgue) para un amplio conjunto de objetos y así podemos hacer física. Además, algunas teorías que utilizan los reales no son tan difíciles ni tan feas. (Teoría de los espacios de Hilbert, por ejemplo) Lo siento por mi inglés roto, todavía estoy aprendiendo el idioma.

edit: En Física sólo se necesitan los reales computables pero si tenemos una secuencia convergente de reales computables el lim de esta secuencia puede ser no computable. Así que los bonitos teoremas del análisis pueden no ser ciertos.