Dejemos que $E$ y $F$ sean regiones de Jordania. Demostrar que Vol( $E$ ) $>0$ si y sólo si $E^\circ \neq \emptyset$ .

Question

Dejemos que $E$ y $F$ sean regiones de Jordania.

(a) Demuestre que Vol( $E$ ) $>0$ si y sólo si $E^\circ \neq \emptyset$ .

(b) Demuestre que $E$ \ $F$ es una región de Jordania.

Los anteriores son los problemas en los que estoy atascado. En el caso de (a), he resuelto la parte en la que $E^\circ \neq \emptyset$ implica que Vol( $E$ ) $>0$ pero no consigo averiguar cómo probarlo al revés. Supongo que se trata de la definición de volumen y de encontrar la región de Jordania más pequeña posible (una bola abierta de radio $\epsilon$ quizás?) pero no consigo entenderlo. Además, para (b), no estoy seguro de cómo abordar esto. ¿Tendría esto dos conjuntos de límites (pensando en el conjunto como un donut o alguna forma parecida)? ¿O cómo funcionaría?

Answer 1

Hay muchas maneras de demostrar que $vol(E) > 0 \implies E^o \neq \emptyset$ dependiendo de la definición (equivalente) de región jordana que conozcas.

Por un lado, decimos que $E$ es una región de Jordan si el límite $\partial E$ tiene contenido cero. En este caso, la función indicadora $\chi_E$ es integrable en Riemann sobre un rectángulo que lo rodea $Q \supset E$ -- donde el valor de la integral es independiente de la elección de $Q$ y

$$vol(E) := \int_Q \chi_E$$

Se nos da que $vol(E) > 0$ . Desde $\chi_E$ Riemann integrable, se deduce que

$$0 < vol(E) = \int_Q \chi_E = \sup _P L(P,\chi_E),$$

donde $L(P,\chi_E)$ denota la suma inferior de Darboux con respecto a una partición $P$ de $Q$ en subrectángulos. Por lo tanto, existe una partición $P = \{R_1,R_2, \ldots , R_n\}$ tal que

$$0 < vol(E)/2 < L(P,\chi_E) =\sum_{j=1}^n \inf_{x \in R_j} \chi_E(x) vol(R_j)$$

Si $R_j \not\subset E$ entonces hay un punto en $R_j$ donde $\chi_E(x) = 0$ y $ \inf_{x \in R_j}\chi_E(x) = 0$ . Por otro lado, si $R_j \subset E$ entonces $\chi_E(x) = 1$ para todos $x\in R_j$ y $ \inf_{x \in R_j}\chi_E(x) = 1$ .

Así,

$$0 < \sum_{j=1}^n \inf_{x \in R_j} \chi_E(x) vol(R_j) = \sum_{R_j \subset E}vol(R_j),$$

y se deduce que existe al menos un rectángulo $R_j \subset E$ donde $vol(R_j)> 0$ , lo que demuestra que $E_0 \neq \emptyset$ .

Otra definición (equivalente) es que $E$ es una región de Jordan (o medible de Jordan) cuando las medidas interiores y exteriores de Jordan son iguales, es decir

$$|E|_* = \sup_{Q \subset E} vol(Q) = \inf_{Q \supset E} vol(Q) = |E|^*,$$

donde $Q$ denota un conjunto elemental, que es una unión finita de rectángulos no superpuestos. Partiendo de esta definición, se demuestra la parte (b) aquí .