Gracias por ver esta pregunta. Estoy leyendo el libro "Topología algebraica desde un punto de vista homotópico". En la página 94 aparece el siguiente teorema.
4.1.6 Teorema. Sea $X$ sea normal y que $A\subset X$ estar cerrado. Entonces lo siguiente es equivalente.
(a)La inclusión $A \rightarrow X$ es una cofibración.
(b)Existe una homotopía $D:X\times I \rightarrow X$ y una función $ \phi :X\rightarrow I$ tal que $A\subset \phi^{-1}(0) $ y $$ D(x,0)=x ~~~~~(x\in X)\\ D(a,t)=a~~ (a\in A,t\in I) \\ D(x,t)\in A ~~~(x\in X,t>\phi (x))$$
(c)El subconjunto $A$ es un repliegue de deformación fuerte de una vecindad $V$ en $X$ y existe $\psi :X\rightarrow I$ tal que $A=\psi ^{-1}(0)$ y $\psi |{X-V}=1 $ .
La prueba de (b) $\Rightarrow $ (c) es la siguiente.
(pf)Dado $D$ y $\phi$ definimos $V=\phi ^{-1}[0,1)$ . Entonces $V$ es una vecindad de $A$ en $X$ . Además, $A$ es un repliegue de deformación fuerte de $V$ ya que si definimos $H:V\times I\rightarrow X $ como $D|{V\times I}$ entonces $H$ cumple las condiciones $A$ es la retracción por deformación fuerte de $V$ . A continuación, definimos $\psi :X\rightarrow I$ por $$ \psi(x)=\inf\{t\in I|D(x,t)\in A\} $$
Pregunta: ¿Por qué la función $\psi$ ¿constante? Y no puedo entender esto $\psi $ cumple la condición $A=\psi^{-1}(0)$ . Si $\phi (x)=1$ no hay $t \in I$ cumple la condición $t > \phi (x)$ Creo que ¿Cuál es el mínimo del conjunto vacío?
