Forma cerrada de $\sum\limits_{i=1}^n k^{1/i}$ o su equivalente asintótico cuando $n\to\infty$

Question

¿Existe una "forma cerrada" para $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n k^{1/i}$ ? (No lo creo)

Si no, ¿podemos encontrar una función que sea asintóticamente equivalente a $S_n$ como $n\to\infty$ ?

Answer 1

Cesaro (caso particular del Teorema de Stolz-Cesaro ) dice $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=a\quad\Rightarrow \quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}=a . $$ Supongo que $k>0$ y $k\neq 1$ (como $S_n=n$ es trivial si $k=1$ ). Dado que $\lim_{n\rightarrow +\infty}k^\frac{1}{n}=1$ obtenemos $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sum_{i=1}^nk^\frac{1}{i}}{n}=1\quad\Rightarrow\quad S_n=\sum_{i=1}^nk^\frac{1}{i}\;\;\sim\; n. $$ Dudo que exista una forma cerrada. Pero podemos ir más allá en la asintótica. Recordemos que si $a_n\sim b_n$ y si $b_n $ es (eventualmente) positivo con $\sum_{i=1}^{+\infty}b_i$ divergente, entonces $\sum_{i=1}^{n}a_i\sim \sum_{i=1}^nb_i$ . Eso es de nuevo Stolz-Cesaro si quieres. Ahora por la primera derivada de $k^x$ en $0$ $$ k^\frac{1}{n}-1\sim\frac{\ln k}{n} \quad\Rightarrow\quad S_n-n=\sum_{i=1}^nk^\frac{1}{i}-1\sim\sum_{i=1}^n\frac{\ln k}{i}=\ln k\cdot H_n\sim\ln k\cdot \ln n $$ donde $H_n$ es el $n$ th número armónico . Por lo tanto, $$ S_n=n+\ln k\cdot\ln n+o(\ln n). $$

Llegando a la segunda derivada de $k^x$ obtenemos $$ k^\frac{1}{n}-1-\frac{\ln k}{n}\sim \frac{(\ln k)^2}{2n^2}. $$ Así que la serie resultante converge y por lo tanto, utilizando $H_n=\ln n +O(1)$ ,

$$ S_n-n-\ln k \cdot H_n=O(1)\quad\Rightarrow\quad S_n=n+\ln k\cdot \ln n+O(1). $$

Answer 2

Sólo hay que tener en cuenta que, para $k>1$

$$ \displaystyle S(n,k)=\sum_{i=1}^n k^{1/i} \sim \int_{1}^{n}k^{1/x}dx$$

$$=-\ln(k)\Gamma(0, -\ln(k))-k+\ln(k)\Gamma\left(0, -\frac{\ln(k)}{n}\right)+nk^{1/n} \longrightarrow (1),$$

donde $\Gamma(s,x)$ es el función gamma superior incompleta . Para el otro caso $k<1$

$$ \displaystyle S(n,k)=\sum_{i=1}^n k^{1/i} \sim \int_{0}^{n}k^{1/x}dx= n{k}^{1/{n}}+\ln \left( k \right) \Gamma \left( 0,-{\frac{\ln\left( k \right) }{n}} \right) \longrightarrow (2).$$

Este es un ejemplo numérico para $k=0.2$ y $n=2000$ la suma es

$$ 1988.361173. $$

y la aproximación mediante $(2)$ es

$$1987.851634. $$

Answer 3

$$\sum_{i=1}^n k^{\frac{1}{i}}=n+\ln(k)\ln(n)+\gamma\ln(k)+\sum_{r=2}^\infty\frac{\zeta(r)\ln(k)^r}{r!}+O(\frac{1}{n})$$