encontrar una cubierta abierta para R que no tenga número de Lebesgue.

Question

Q. encontrar una cubierta abierta para R que no tenga número de lebesgue.

mi duda: Recuerdo que para un subconjunto compacto de un espacio métrico, toda cubierta abierta tiene un número de Lebesgue.

¿alguien sabe cómo hacer esto?

Answer 1

Para $n\in \mathbb{Z}$ , toma $A_n = (n,n+1)$ y $B_n := (n-1/n, n+1/n)$ y considerar la tapa abierta $\mathcal{U} := \{A_n :n \in \mathbb{Z}\} \cup \{B_n : n \in \mathbb{Z}\}$ .

Para cualquier $\delta > 0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $2/N < \delta$ Así que considere $$ C := (N+1-1/N, N+1+1/N) $$ Entonces $\text{diam}(C) < \delta$ pero $C$ no está contenido en ningún miembro de $\mathcal{U}$ .