Soy bastante nuevo en la teoría de Galois y me han dado este ejercicio:
Supongamos que $ F $ es respectivamente igual a $ \mathbb{Q}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_5 $ (el tercero es sólo el campo de 5 elementos). Mi tarea consiste en determinar el grupo de Galois de $ F(x^5) \subset F(x) $ .
Soy capaz de demostrar un teorema que nos dice que el orden de esta extensión es $ 5 $ . El teorema fundamental de la teoría de Galois nos dice que el grupo de Galois de una extensión es del mismo orden, en este caso $ 5 $ , siempre que la extensión sea de Galois . Si no lo es, entonces el grupo es de menor orden.
No estoy seguro de cómo comprobar si esta extensión es de Galois - si lo fuera, la respuesta sería obvia, ya que sólo hay un grupo de orden $ 5 $ .
Lo que me preocupa es cómo ver si esta extensión es de Galois y, si no lo es, cuál podría ser el grupo de Galois.
Agradecería un poco de ayuda
