integral en la superficie de una esfera

Question

¿Cómo puedo calcular la integral de $f(z) = e^{-z}$ sobre la superficie de una esfera de radio $R$ ? He intentado utilizar sistemas cilíndricos y esféricos, ambos dieron una integral irresoluble, sospechando que hay una forma de cambiar el orden de las variables.

Answer 1

Utilice $\sin\theta d\theta = -d\cos\theta$ para ver que $$ I= R^2\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi e^{-R\cos\theta} \sin \theta \,d\theta= 2\pi R(e^R-e^{-R}) $$

Answer 2

La parametrización de una esfera en $\mathbb R^3$ está dada por,

$$x = R \sin\phi \cos\theta, \quad y = R \sin\phi \sin\theta, \quad z = R\cos\phi$$

aunque esto no es único. Para realizar la integral de superficie, necesitamos calcular la magnitud de la normal a la esfera, es decir

$$\bigg\lvert \frac{\partial \vec r}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec r}{\partial \phi}\bigg\rvert = R^2 \sin\phi$$

aunque en geometría diferencial pensaríamos en integrar $\sqrt{\gamma}d^2x$ con la métrica inducida en la superficie. Teniendo en cuenta que $z=R\cos\phi$ Hay que calcular,

$$R^2\int_0^{\pi} d\phi \int_0^{2\pi}d\theta \, e^{-R\cos\phi}\sin\phi = 2\pi R^2 \int_0^\pi d\phi \, e^{-R\cos\phi}\sin\phi.$$

Se trata de una integral bastante fácil a pesar de la apariencia (nótese que la derivada y la antiderivada de una función aparecen en el integrando) que encontramos como resultado final,

$$4\pi R \sinh R$$

como el valor de la integral de superficie del campo escalar sobre la esfera.