Un problema de expansión polinómica matricial

Question

El problema es

$b = (1, -1)^\top, c = (1, 1)^\top, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ Supongamos que la suma de los elementos diagonales inversos de $A$ es cero (es decir, $A_{12} + A_{21} = 0$ ), demuestre que la suma de los elementos diagonales inversos de $\sum\limits_{r=0}^{n-1} A^r c b^\top A^{n-1-r}$ es cero para cualquier $n \in \mathbb{N}^{+}$ .

De hecho, esta es mi conjetura y he probado muchos ejemplos en mi ordenador. Para el caso de la diagonal, es fácil demostrarlo, pero para el caso general no sé cómo hacerlo. Una idea que se me ocurre es escribir $A$ como la suma de una matriz diagonal y una matriz antidiagonal, entonces expande $A^r$ por expansión binomial, pero desgraciadamente no conmutan.

¿Podría alguien darme algunas pistas?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A=\pmatrix{a&-b\\ b&c},\,B=\pmatrix{1&-1\\ 1&-1}$ y $R=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$ . Es sencillo comprobar que $$\begin{cases} RB=-BR=B,\\ \operatorname{tr}(BR)=\operatorname{tr}(RB)=0,\\ \operatorname{tr}(ABR)+\operatorname{tr}(BAR) =\operatorname{tr}(ABR)+\operatorname{tr}(ARB) =\operatorname{tr}(-AB)+\operatorname{tr}(AB)=0,\\ \operatorname{tr}(ABAR) =\operatorname{tr}\pmatrix{-(a-b)(b+c)&(a-b)^2\\ -(b+c)^2&(a-b)(b+c)}=0.\\ \end{cases}$$ Por el teorema de Cayley-Hamilton, las potencias de $A$ son combinaciones lineales de $A$ y $I$ . Sea $A^k=pA+qI$ y $A^{n-1-k}=rA+sI$ . Entonces $$\begin{align} &\operatorname{tr}(A^kB A^{n-1-k}R+A^{n-1-k}B A^kR)\\ &=\operatorname{tr}\left((pA + qI) B (rA + sI) R + (rA + sI) B (pA + qI) R\right)\\ &=2pr\operatorname{tr}(ABAR) + (ps+qr)\operatorname{tr}(ABR + BAR) + 2qs\operatorname{tr}(BR)\\ &=0.\tag{1} \end{align}$$ En particular, cuando $n-1=2k$ tenemos $\operatorname{tr}(2A^kBA^kR)=0$ y por lo tanto $$\operatorname{tr}\left(A^{(n-1)/2}BA^{(n-1)/2}R\right)=0.\tag{2}$$ Se deduce de $(1)$ y $(2)$ que $\sum_{k=0}^{n-1}A^kBA^{n-1-k}R$ tiene un rastro cero. Dado que la traza de $\sum_{k=0}^{n-1}A^kBA^{n-1-k}R$ es precisamente la suma de los dos elementos antidiagonales de $\sum_{k=0}^{n-1}A^kBA^{n-1-k}$ La conclusión es la siguiente.

Answer 2

Alguien me dijo un método sencillo, decido publicarlo aquí.

Tenga en cuenta que para cualquier $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ , $A_{12} + A_{21} = 0$ si y sólo si

$$\begin{equation*} A^\top = \sigma^{-1} A \sigma \end{equation*}$$ con $$\begin{equation*} \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{equation*}$$

Dejemos que $$\begin{equation*} J = \sum\limits_{r=0}^{n-1} A^r c b^\top A^{n-1-r} \end{equation*}$$ entonces cuando $A_{12} + A_{21} = 0$ tenemos $$\begin{align*} J^\top & = \sum\limits_{r=0}^{n-1} \left(A^\top\right)^{n-1-r} b c^\top \left(A^\top\right)^{r} \\ & = \sigma^{-1} \sum\limits_{r=0}^{n-1} A^{n-1-r} c b^\top A^{r} \sigma \\ & = \sigma^{-1} J \sigma \end{align*}$$

Por lo tanto, $$\begin{equation*} J_{12} + J_{21} = 0 \end{equation*}$$