Encontrar la media y la distribución de las variables aleatorias normales

Question

Supongamos que $X_1$ y $X_2$ son variables aleatorias normales i.i.d. con media $0$ y la varianza $1$ . Sea $Y_1$ y $Y_2$ definirse como $Y_1 =8X_1+6X_2$ y $Y_2 = X_1$ .

1. $E[Y_1]= 0$ ¿Correcto? Porque es sólo $8 \times 0 + 6 \times 0$ ?
2. $Var(Y_1) = 100$ ? Me sale esto porque $Var(x) = a^2Var(X)$ Por lo tanto, cada uno de ellos es igual $64($ varianza de $X_1 = 1) + 36($ varianza de $X_2 = 1) = 100$ .
3. $P(Y_1 \ge 12)= 1 - P(Y_1 < 12) = $ ¿Utilizo la tabla normal estándar para esto y desplazo la normal estándar o algo así?
4. $Cov(Y_1,Y_2) =? $ . Lo sé. $$Cov(X,Y) = E[(X-E[X])·(Y- E[Y])] = E[XY ]- E[X]E[Y ]$$ pero no estoy seguro de cómo aplicarlo en esta situación.

Cualquier ayuda para resolver estos problemas y ofrecer sugerencias sería muy apreciada. ¡Muchas gracias a todos! También estoy feliz de ofrecer más aclaraciones.

Answer 1

1. Correcto.

2. Correcto.

3. Si utiliza tablas para los cálculos de la CDF normal, entonces sí, refundición a una normal estándar con $Z=\frac{Y_1-\mu}{\sigma}$ y lee el número que necesitas.

4. Ya has recorrido un buen trecho del camino. El siguiente paso es escribir $E[Y_1 Y_2]$ en términos de expectativas que implican $X_1,X_2$ específicamente: $E[Y_1 Y_2]=E[(8X_1+6X_2)X_1]=E[8X_1^2+6X_2X_1]$ . ¿Alguna idea para el siguiente paso?