Este es el texto del problema ( aquí $\lVert\cdot\rVert$ denota cualquier norma inducida por la matriz): Sea $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ una matriz diagonalizable $n\times n$ con $\lambda_{1}, \lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ valores propios reales, tales que $$\lvert\lambda_{1}\rvert>\lvert\lambda_{2}\rvert\geq\ldots\geq\lvert\lambda_{n}\rvert$$ con vectores propios $v_1,\ldots,v_n$ . Sea $x_0=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i v_i$ ( $\alpha_1\neq0)$ y definir recursivamente $$x_{k+1}=Ax_k $$ Además, dejemos que $\mu_k=(w^TAx_k)/(w^Tx_k)$ , donde $w$ es un vector en $\mathbb{R}^n$ tal que $w^Tv_1\neq0$ . Demuestra que:
1) para todo $\varepsilon$ existe un $\bar{k}$ tal que $$ \lVert Ax_k- \mu_k x_k \rVert<\varepsilon\lVert x_k\rVert$$ por cada $k>\bar{k}$ ;
2) Supongamos que la desigualdad anterior se cumple para un $\varepsilon$ y un fijo $k$ . Demuestre que existe una matriz $\tilde{A}$ tal que $\tilde{A}x_k=\mu_k x_k$ y $$ \lVert A-\tilde{A}\rVert<\varepsilon$$ Fin del ejercicio.
El punto 1 es trivial, pero en cambio no sé cómo enfocar el segundo punto. He observado que la matriz $\tilde{A}=(x_k w^TA)/(w^T x_k)$ (donde $x_k w^TA$ es el producto de una columna por una fila) satisface la condición $\tilde{A}x_k=\mu_k x_k$ pero no sé cómo demostrar la desigualdad con la norma (suponiendo que esta matriz funcione). ¿Alguien podría ayudarme?
