Contraejemplo del teorema de extensión de Kolmogorov

Question

Sé que dado un espacio $(E, \epsilon)$ (con algunas propiedades, pero da igual) y una familia consistente de distribuciones de dimensión finita, tengo el teorema de extensión de Kolmogorov que dice que hay una probabilidad $\mu$ en $(E^T, \epsilon ^T)$ con esas distribuciones.

Me han dicho que si me detengo en las distribuciones de orden $m$ Siempre podría encontrar un contraejemplo en el que tenga una familia consistente de distribuciones hasta el orden $m$ que no proviene de ninguna distribución $\mu$ en $(E^T, \epsilon ^T)$ .

Sin embargo, no veo cómo construir tal contraejemplo.

Answer 1

Dejemos que $m=3$ con $T=\{1,2,3\}$ y supongamos $(X_1,X_2)$ era uniforme en $\{(0,1),(1,0)\}$ y así fue $(X_1,X_3)$ y así fue $(X_2,X_3)$ . Y que el $X_i$ son individualmente uniformes en $\{0,1\}$ . Esto especifica todos los $1$ y $2$ -márgenes de dimensión para $\{X_t:t\in S\}$ para todos $S\subset T$ con $| S|<3$ . No existe una probabilidad conjunta para $(X_1,X_2,X_3)$ porque pondría toda la masa en elementos de $\{0,1\}^3$ cuyos componentes eran todos distintos. No hay tales elementos, ya que cualquier combo de 3 ceros y unos debe contener un duplicado.

Dicho de otro modo, $P(X_1=1-X_2)=P(X_3=1-X_2)=1$ por lo que se puede adivinar $P(X_1=X_3)=1$ pero el margen propuesto para $(X_1,X_3)$ dice que no.