Uno de mis amigos hizo esta pregunta. Incluso en la clase baja usamos ambos como sinónimos, él dice que estos dos conceptos tienen diferencias. El conjunto vacío $\{\}$ es un conjunto que no contiene ningún elemento, mientras que el conjunto nulo, $\emptyset$, habla de un conjunto que no contiene ningún elemento.
No pude entenderlo ... ¿es correcto su argumento? si es así, ¿cómo?
En la teoría de la medida, un conjunto nulo se refiere a un conjunto de medida cero. Por ejemplo, en los reales, $\mathbb R$ con su medida estándar (medida de Lebesgue), el conjunto de los números racionales $\mathbb Q$ tiene medida $0$, por lo que $\mathbb Q$ es un conjunto nulo en $\mathbb R$. De hecho, todos los subconjuntos finitos y numerables de $\mathbb R$ tienen medida $0$. En contraste, el conjunto vacío siempre se refiere al conjunto único sin elementos, que se denota como $\left\{ \right\}$, $\varnothing$ o $\emptyset$.
No son lo mismo aunque se usaban de manera intercambiable en el pasado.
En matemáticas, un conjunto nulo es un conjunto que es despreciable en cierto sentido. Para diferentes aplicaciones, el significado de "despreciable" varía. En teoría de la medida, cualquier conjunto de medida 0 se llama un conjunto nulo (o simplemente un conjunto de medida cero). Más generalmente, siempre que se tome un ideal como entendido, entonces un conjunto nulo es cualquier elemento de ese ideal.
Mientras que un conjunto vacío se define como:
En matemáticas, y más específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el conjunto único que no tiene elementos; su tamaño o cardinalidad (cantidad de elementos en un conjunto) es cero. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma de conjunto vacío; en otras teorías, su existencia puede deducirse. Muchas propiedades posibles de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.
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Bueno, a veces "conjunto nulo" puede referirse a un conjunto de medida cero. ¿Es esto lo que buscas? En este caso, un conjunto nulo no tiene por qué ser un conjunto vacío, pero un conjunto vacío debe ser un conjunto nulo.