Pregunta sobre el Grupo de notación

Question

Decir que tengo los elementos $g$ $h$ en un grupo de $G$.

¿Qué $g^h$ significa? Viendo esta notación mucho, pero no puedo encontrar una explicación de ella en cualquier lugar.

Answer 1

En el trabajo por grupo de teóricos, esto es el derecho de acción de $G$ sobre sí mismo por conjugación: $$g^h = h^{-1} g h$$ Esto tiene la propiedad $$(gh)^k = g^k h^k \quad \text{and} \quad g^{(hk)} = (g^h)^k$$ El conmutador asociado con esto es $[g,h] = g^{-1} g^h$, la diferencia entre el${}^h$${}^1$, la identidad.

En ocasiones se puede ver a otras personas el uso de $g^h$ a la media de $h gh^{-1}$ como izquierda-acción. A veces esto se llama el topologist de la convención, a pesar de tener la esperanza de que todos adopten ${}^h g = h g h^{-1}$, de modo que su acción izquierda está a la izquierda.

Answer 2

Por lo general, esto significa $h^{-1}gh$. Es decir, la aplicación de la automorphism $\phi_h:G\to G$ que se lleva a $g\to h^{-1}gh$.

Answer 3

Deje $X,Y$ $G$- conjuntos. Dado un espacio de $Y^X$ de los mapas de $f: X \to Y$, las acciones en $X$ $Y$ inducir a una acción en $Y^X$ dada por $$g \cdot f(x) = gf(g^{-1}x)$$ donde el $g\cdot f$ en el lado izquierdo indica la acción en $Y^X$ e las $gf$ a la derecha indica que la acción en $Y$. Obviamente esta notación es muy ambiguo, por lo que habitualmente escribimos $^g f$ para la acción en $Y^X$. El simétrica derecho de acción es generalmente denotado por un exponente en el lado opuesto.

Visualización de un elemento de grupo como una función de $G \to G$ da la etimología, por así decirlo, de esta notación.