Representación matricial de la derivada de una función suave

Question

Dejemos que $V:\mathbb R^n\to\mathbb R$ sea una función suave y defina la función hamiltoniana $H:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R$ (energía cinética más potencial) por $$H(x,y):=\frac 12|y|^2+V(x).$$ Demostrar que $c$ es un valor regular de $H$ si y sólo si es un valor regular de $V$ .

Mira la definición de los valores regulares:

Definición $U\subset \mathbb R^k$ sea un conjunto abierto y $f:U\to \mathbb R^l$ sea una función suave. Un elemento $c\in \mathbb R^l$ se denomina valor regular de $f$ si, para todo $p\in U$ tenemos

$f(p)=c\implies df(p):\mathbb R^k\to\mathbb R^l$ es suryente.

En la definición, $f$ es una función suave cuyo dominio es un subconjunto de $\mathbb R^k$ . En nuestro problema de la "función hamiltoniana", el dominio de la función hamilitoniana es $\mathbb R^n\times \mathbb R^n$ . Allí su derivado $dH$ es una función con el mismo dominio y codominio. Pero ¿qué tipo de matriz vamos a utilizar para representar $dH$ ? Sin esta respuesta, no puedo resolver el problema.

Answer 1

Para simplificar, consideremos el caso n=1. $H(x,y)=y^2/2+V(x)$ , $dH=ydy+V_xdx$ es un mapa lineal en el espacio tangente cuya representación matricial es el gradiente: $$\operatorname{grad}(H): (u,v)\mapsto V_xu+yv=\begin{bmatrix}V_x & y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\ v\end{bmatrix}$$

Para n general $$dH=\sum_{i=1}^ny^idy^i+\frac{\partial{V}}{\partial x^i}dx^i$$ cuya representación matricial es $$\begin{bmatrix}\frac{\partial{V}}{\partial x^1} & \frac{\partial{V}}{\partial x^2} &\cdots \frac{\partial{V}}{\partial x^n} & y^1 &\cdots y^n\end{bmatrix}$$

Answer 2

Primera nota $$dH(p,q)(x,y) = q\cdot y + dV(p)(x)$$ para todos $(p,q), (x,y) \in \Bbb R^n \times \Bbb R^n$ . Supongamos que $c$ es un valor regular de $H$ . Sea $p \in \Bbb R^n$ tal que $V(p) = c$ . Entonces $H(p,0) = c$ . Desde $dH(p,0)$ es suryente, dado $r \in \Bbb R$ existe $(x,y)\in \Bbb R^n \times \Bbb R^n$ tal que $dH(p,0)(x,y) = r$ es decir, $dV(p)(x) = r$ . Así, $dV(p)$ es suryente. Como $p$ es un punto arbitrario de $V^{-1}(c)$ , $c$ es un valor regular de $V$ . Ahora trata de demostrar lo contrario.