Probando $f: \mathbb{R}^n \ni x\to \left\lVert x \right\rVert$ $\in \mathbb{R}$ para ser continua

Question

Tenía que demostrar que $f: \mathbb{R}^n \ni x\to\left\lVert x \right\rVert$ $\in \mathbb{R}$ es continua con respecto a la norma máxima.

¿Es correcto hacer lo siguiente, es decir, utilizar la desigualdad del triángulo?

$\left\lVert x \right\rVert$ = $\left\lVert x - y + y\right\rVert$ $\leq $ $\left\lVert x - y \right\rVert$ $+ \left\lVert y \right\rVert$

$\left\lVert y \right\rVert$ = $\left\lVert y - x + x\right\rVert$ $\leq $ $\left\lVert y - x \right\rVert$ $+ \left\lVert x \right\rVert$

Después de reordenar obtengo

$|f(x) - f(y) |$ $\leq$ $\left\lVert x-y \right\rVert$

por lo que f es continua de Lipschitz y, por tanto, continua. (¿creo?)

Ahora hay $S := {x \in \mathbb{R}^n}$ : $\left\lVert x \right\rVert_\infty = 1$ que es la esfera unitaria respecto a la norma máxima. ¿Cómo puedo ahora concluir de lo anterior, que $f$ tiene un mínimo $A := f(x) > 0$ en un punto $x$ en $S$ ?

¿Y también es posible concluir de ello, que por lo tanto $\left\lVert x\right\rVert$ $\geq$ $A * \left\lVert x \right\rVert_\infty$ para todos $x \in \mathbb{R}^n$ ?

Answer 1

No ha demostrado la continuidad de $f$ por ejemplo $\|x\|_{\infty}$ norma. Escribe cualquier vector $x$ como $\sum x_ie_i$ donde $e_1,e_2,..,e_n$ es la base estándar. Entonces $f(x) \leq \sum |x_i| |f(e_i)|\leq \|x\|_{\infty} \sum |f(e_i)|$ lo que demuestra que $f$ es continua para el $\|x\|_{\infty}$ norma. Dado que $S$ es compacto en $\|x\|_{\infty}$ se deduce que $f$ tiene un valor mínimo $c$ en $S$ . [Obsérvese que $f$ no desaparece en ningún punto de $S$ ]. Ahora puede comprobar que $f(x) \geq c \|x\|_{\infty}$ para todos $x$ considerando $\frac x {\|x\|_{\infty}}$ .