Encuentre los valores mínimos de $a^3$ y $b^3$ de la siguiente función cúbica dada.

Question

Hoy después de enseñar las relaciones AM,GM,HM mi profesor ha propuesto esta pregunta.
Sin embargo, no es un HW, ya que no tenemos que decir que hemos resuelto la pregunta y presentar una solución.

Pregunta

Dado que $a,b$ son dos números reales positivos.
Si $$f(x)=2x^3+ax^2+bx+4=0$$
Encuentre los valores mínimos de $a^3$ y $b^3$ .

Bueno, he progresado un poco.
Aplicando $AM\ge GM$ {tomando todos los términos en $f(x)$ positivo}
Obtenemos $8x^6ab\le0$ lo cual es imposible ya que $x$ no puede ser $0$ y $a,b$ son positivos.
Así que tenemos una conclusión de que las raíces de $f(x)$ son negativos.
Ahora poniendo $x=-X$ donde $X$ es un número real positivo, obtenemos
$2X^3+bX=aX^2+4$

Esto es todo lo útil que tengo. Usando AM,GM en los dos lados uno por uno se obtienen dos desigualdades sin utilidad.
Gracias por cualquier solución o pista de antemano.

Answer 1

Aquí tienes un boceto.

Supongamos que $a, b \geq 0$ . Dejemos que las raíces se denoten $x_1, x_2, x_3$ .

Utilizando la fórmula de Vieta encontramos \begin{align} x_1+x_2+x_3 &= -\frac{a}{2} \\ x_1 x_2 + x_2 x_3 +x_3 x_1&= \frac{b}{2} \\ x1 x_2 x_3 &= -2 \end{align} La última desigualdad implica que $$2 = (-x_1)(-x_2)(-x_3) = |x_1||x_2||x_3|$$

Aplicando AM-GM, entonces \begin{align} \frac{a}{6} &= -\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3) \\ &\geq ((-x_1)(-x_2)(-x_3))^{1/3} \\ &= \ldots \end{align}

También, \begin{align} \frac{b}{6} &= \frac{1}{3}(x_1 x_2 + x_2 x_3 +x_3 x_1)\\ &\geq (x_1 x_2 x_1 x_3 x_2 x_3)^{1/3}\\ &\vdots \end{align}

Entonces, una vez que haya encontrado $a, b$ por encima de los mínimos.

Answer 2

El valor mínimo de un número positivo no existe, lo que dice que un valor mínimo de $a^3$ no existe y un valor mínimo de $b^3$ no existe.