El dual para el grupo abeliano en Q/Z

Question

Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano cualquiera. Tomemos $A^\star:=\operatorname{Hom}(A,\Bbb{Q}/\Bbb{Z})$ sea el dual de $A$ . Entonces es $A=0$ equivalente a $A^\star=0$ ?

Answer 1

Sí. Tenga en cuenta que $\mathbb Q / \mathbb Z$ es un grupo divisible, por lo tanto un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos, por lo que cualquier homomorfismo en él puede ser levantado desde subgrupos.

Tome cualquier $x\in A$ . Si tiene un orden finito $n$ , defina $f(x)={1\over n}$ En caso contrario, defina $f(x)$ para ser cualquier elemento no nulo de $\mathbb Q / \mathbb Z$ . Esto define un homomorfismo no nulo $f: \langle x \rangle \rightarrow \mathbb Q / \mathbb Z$ . Por la inyectividad de $\mathbb Q / \mathbb Z$ esto puede extenderse a un homomorfismo no nulo $A \rightarrow \mathbb Q / \mathbb Z$ . Por lo tanto, si $A$ es distinto de cero, $A^*$ también es distinto de cero.

Answer 2

Sí, todo grupo abeliano no nulo tiene un homomorfismo hacia un grupo cíclico no nulo o $\Bbb Q$ o un grupo Prufer. Todos estos grupos tienen homomorfismos hacia subgrupos no nulos de $\Bbb{Q}/\Bbb Z$ . Así que el dual de todo grupo abeliano bon-zero no es cero.