Me he estado preparando para el examen JEE aquí en la India y he estado estudiando Números Complejos durante los últimos días. Uno de los temas que se incluyen en los números complejos es su aplicación en la geometría de coordenadas (secciones cónicas). Entre ellas se encuentran las siguientes:
Ecuación de líneas en diferentes formas (paramétricas/no paramétricas) $$$$ Equations of Circles with various conditions (for example centered at $ z_0 $, or orthogonal to another circle and so on)$$$$ Ecuaciones de elipses e hipérbolas, etc.
$$$$ Hay varias otras aplicaciones/ecuaciones mencionadas que no he escrito aquí. El problema al que me enfrento es que el libro que utilizo para los números complejos (Algebra for JEE Main and Advanced, por SK Goyal) sólo contiene las fórmulas sin mostrar las derivaciones. Me resulta extremadamente difícil aceptar y utilizar una fórmula/resultado sin saber cómo ha surgido.
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Agradecería que alguien mencionara una fuente/libro de referencia del que pudiera aprender realmente cómo derivar/llegar a todas las fórmulas utilizadas para representar Cónicas utilizando Números Complejos. El libro no tiene por qué coincidir con el nivel del examen JEE Advanced; también puede ser superior. Sin embargo, preferiría que el libro estuviera en el nivel adecuado para el examen JEE Advanced únicamente.
$$$$Many thanks in advance! $$$$ Editar: $$$$ The results mentioned in my book are as follows: $$$$
$1) $ La ecuación de la línea que une $z_1$ y $z_2$ es $$z(\bar{z_1}-\bar{z_2})-\bar{z}(z_1-z_2)+ z_1\bar z_2-z_2\bar z_1=0 \text{ (non parametric form).}$$
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$2) $ Tres puntos son colineales si $$\begin{vmatrix}z_1&\bar{z_1}&1\\z_2&\bar {z_2}& 1\\z_3&\bar {z_3}& 1\end{vmatrix}=0$$
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$3)$$ \bar{a}z+\bar z a+b=0 $ where $ b\in \mathbb R $ describes the equation of a straight line (I don't know what $ a $ is, nor what $ \iota b$ es).
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$4)$ La pendiente real y compleja (no sé qué se entiende por "real" y "compleja") de la recta $\bar{a}z+\bar z a+b=0$ son $-\dfrac{\Re(a)}{\Im(a)}$ y $-\dfrac{a}{\bar a}$ donde $b\in \mathbb R$ .
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$5) $ Si las líneas $\bar{a}z+\bar z a+k_1=0$ y $\bar{b}z+\bar b a+k_2=0$ $k_1,k_2\in \mathbb R$ son perpendiculares entre sí, entonces $$\bar{a}b+\bar ba=0$$
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$6)$ $z\bar z +a\bar z +\bar az+k=0 $ donde $k\in \mathbb R$ representa un círculo con centro $-a$ y el radio $\sqrt{|a|^2-k}$ .
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$7)$ Si $|z-z_1|+|z-z_2|=2a$ donde $2a>|z_1-z_2|$ entonces $ z $ representa una elipse con focos en $z_1 \text{ and }z_2$ y $a\in \mathbb R^+ $ .
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$8)$ Si $|z-z_1|-|z-z_2|=2a$ donde $2a<|z_1-z_2|$ entonces $z$ representa una hipérbola con focos en $z_1$ y $z_2$ .
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$9)$ Ecuación de todos los círculos ortogonales a $|z-z_1|=r_1\text{ and }|z-z_2|=r_2$ es (no se menciona nada más).
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$10)$ $\left |\dfrac{z-z_1}{z-z_2}\right | = k$ es un círculo si $k\neq 1$ y representará una línea si $k=1$ .
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$11)$ La ecuación $|z-z_1|^2+|z-z_2|^2=k$ representará un círculo si $k\geq \frac12 |z_1-z_2|^2$ .
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$12)$ Si $\arg\left(\dfrac{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}\right)=0, \pm \pi$ , entonces los puntos $z_1,z_2,z_3,z_4$ son cíclicos.
