Dejemos que $S_n$ sea el grupo simétrico de todas las permutaciones de $\{1,\ldots,n\}$ . Recordemos que una permutación $\sigma\in S_n$ se llama derangemnt si $\sigma(k)\not=k$ para todos $k=1,\ldots,n$ .
Motivado por el conocido resultado de que $\sum_{k=m}^n\frac1k\not\in\mathbb Z$ siempre que $n\ge m>1$ (Kurschak, 1918), aquí hago la siguiente pregunta.
PREGUNTA: ¿Es cierto que siempre que $n\ge m\ge1$ tenemos $$\sum_{k=m}^n\frac{\sigma(k)}k\not\in\mathbb Z$$ para todos los desórdenes $\sigma\in S_n$ ?
Si $n$ es un número primo $p$ y $\sum_{k=m}^n\frac{\sigma(k)}k\in\mathbb Z$ con $\sigma\in S_n$ entonces $\sigma$ no es un desvarío ya que $\sigma(p)=p$ . Por lo tanto, la pregunta tiene una respuesta positiva si $n$ es primordial. Conjeturo que la pregunta siempre tiene una respuesta positiva, y lo he verificado para cada $n=1,\ldots,11$ . Para $n=4$ , tenga en cuenta que $$\frac41+\frac12+\frac33+\frac24\in\mathbb Z$$ pero la permutación $(4,1,3,2)$ de $\{1,2,3,4\}$ no es un desvarío ya que fija el número $3$ .
