Dada la ecuación diferencial $$f''(x)-2xf'(x)-2f(x)=2$$ He conseguido encontrar la solución de la serie de potencias $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2(n+1)+1}}{(n+1)!}.$$ Ahora, ¿cómo puedo encontrar la forma cerrada de esta función? Parece un poco similar a $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ que es la función exponencial. Pero con una diferencia de potencias desplazadas. La sustitución no parece llevarme a ninguna parte. ¿Es necesario integrar o diferenciar la expresión? Además, ¿hay una estrategia general para abordar este tipo de problemas? ¿Qué es lo primero que hay que mirar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Puedes intentar "factorizar" los términos hasta que empiecen a parecerse lo suficiente, en tu caso tienes una sospecha de cómo podría ser, así que podemos intentar darle esta forma a tu serie de potencia:
$$\frac{x^{2(n+1)+1}}{(n+1)!} \overset{m=n+1}{=} \frac{x^{2m+1}}{m!} = x \frac{(x^2)^m}{m!}$$
Así que obtenemos
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2(n+1)+1}}{(n+1)!} = x \sum_{m=1}^\infty \frac{(x^2)^m}{m!} = x (\exp(x^2) - 1)$$
Ten en cuenta que esto requiere práctica y que tienes que ser capaz de reconocer la serie de potencias. Al mismo tiempo, hay que tener en cuenta que la mayoría de las series de potencias no admiten una forma cerrada, al menos las que se encuentran fuera de los libros de texto y los conjuntos de problemas.
EDITAR: Muchas técnicas similares surgen en el estudio de las funciones generadoras. Hay un gran libro de texto gratuito de Herbert S. Wilf sobre este tema: https://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html
zipirovich
Puntos
31
Sí, tienes razón - es lo suficientemente similar, por lo que podemos manipularlo en la serie de las funciones exponenciales, a grandes rasgos. Esta es una manera de verlo: $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2(n+1)+1}}{(n+1)!}=x\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^{n+1}}{(n+1)!}=x\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}=x\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!}-1\right)=\cdots$$
