Estoy viendo algunas pruebas de teoría de conjuntos para principiantes en este texto en línea .
Una pregunta que tengo es sobre el ejercicio 6 (1.3.6) en la página 2):
Demostrar que $\mathcal P(X) \subset X$ es falso para cualquier $X$ .
La respuesta dada es básicamente la siguiente:
Prueba. Sea $X$ sea un conjunto arbitrario; entonces existe un conjunto
$$Y = \{ u \in X : u \notin u \}.$$
Obviamente, $Y\subset X$ Así que $Y\in\mathcal P(X)$ por el Axioma del Conjunto de Poderes. Si $Y\in X$ entonces tenemos $Y\in Y \iff Y \notin Y$ (una contradicción). Este demuestra que $\mathcal P(X) \not\subset X$ .
Entiendo cómo se llega a una contradicción si se asume que $Y\in X$ . Pero, ¿es así? $Y$ necesariamente tiene que ser un elemento de $X$ ? ¿Qué pasa con el caso en el que
$$Y \notin X?$$
¿No hay que mostrar una contradicción para eso también?
