¿Son estos conjuntos contables o incontables?

Question

Entiendo que para demostrar que un conjunto es contable hay que encontrar una biyección de ese conjunto a un conjunto contable, pero normalmente me quedo atascado intentando encontrar esa función. Estoy tratando de demostrar si estos conjuntos: $\mathbb{Z}^{[0,1]}$ y $[0,1]^{\mathbb{Z}}$ son contables o incontables.

Gracias.

Answer 1

Espero que al $[0,1]$ se refiere al intervalo y que no es un error tipográfico de $\{0,1\}$ .

Encontrar una biyección explícita puede ser (muy) difícil. En su lugar, se puede utilizar el teorema CSB para demostrar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad mostrando que existen inyecciones en ambas direcciones. O, para demostrar que un conjunto es contable, se puede expresar que el conjunto es una unión contable de conjuntos contables.

Para demostrar que un conjunto $S$ no es contrastable basta con encontrar una inyección $B\to S$ de un conjunto incontable $B$ . Es posible que este sea su segundo juego. ¿Puedes pensar en una inyección $B\to [0,1]^\mathbb Z$ para una elección adecuada $B$ ? ¿Puede entonces resolver el primer conjunto?

Answer 2

En primer lugar, observe que tenemos una función biyectiva desde $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ Así que podemos reducir nuestros problemas a $[0,1]^\mathbb{N}$ y $\mathbb{N}^{[0,1]}$ . Además tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es incontable. Entonces mira la función $$f:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,1]^{\mathbb{N}}$$ enviando $A\in\mathcal{P}(\mathbb{N})$ al mapa en $[0,1]^{\mathbb{N}}$ que envían $x\in\mathbb{N}$ a $1$ si $x\in A$ y cero en caso contrario. Esto da una función inyectiva, por lo que concluimos que $[0,1]^\mathbb{N}$ es incontable.

Luego, para la otra notificación, puede incrustar $\mathbb{N}$ en $[0,1]$ mirando a $1/n$ . entonces puedes mirar un subconjunto del conjunto $\mathbb{Z}^{[0,1]}$ que es $\{0,1\}^\mathbb{N}$ y entonces puedes volver a decir con el argumento anterior que es incontable.

Answer 3

Su segundo conjunto contiene una copia isomorfa de $[0,1]$ como subconjunto (fija todas las coordenadas menos la primera), por lo que no puede ser contable. Tu primer conjunto es incontable por la misma razón; considera el subconjunto donde cada coordenada es la misma. ¿A qué es isomorfo?