Las unidades de la ecuación de Poisson 1d parecen... extrañas

Question

Estoy viendo un problema sobre la tensión a lo largo de una línea 1D, y aparece la ecuación de Poisson:

$$ \nabla^2 V(x) = \frac{d^2 V}{dx^2} = \frac{\rho(x)}{\epsilon_0}$$

pero si miro las unidades de esta ecuación tengo:

$$ \frac{\text{Volts}}{\text{meters}^2} = \frac{[\rho]}{ \text{Colombs} / (\text{Volts $ \cdot $ meters})}$$

Esto significa que las unidades de $\rho$ debe tener unidades de Colombs / metros $^3$ para que las unidades coincidan, pero en 1d siempre pienso en una densidad de carga como Comlombs/metro. ¿Puede alguien ayudarme a pensar en esto?

Answer 1

Es posible que trabaje en $1$ D, pero eso no significa que el lado derecho de la ecuación de Poisson haya cambiado mágicamente: La ecuación de Poisson sigue siendo $$ \nabla^2 V = \frac{1}{\epsilon_0}\rho, $$ donde $\rho$ es la densidad de carga volumétrica, con una dimensionalidad de $\rm charge/length^3$ y lo único que cambia es que se trabaja en una pila de capas con simetría traslacional en el $y$ y $z$ dimensiones, de modo que $$ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial z} = 0, $$ y la EDP se convierte en una EDO unidimensional. Sin embargo, el lado derecho sigue siendo una densidad de carga volumétrica.

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EDIT: Para mayor claridad, la ecuación de Poisson unidimensional que escribes en la pregunta, $$ \frac{\mathrm d^2V}{\mathrm dx^2} = \frac{\rho(x)}{\epsilon_0} $$ sólo es válido para situaciones de la siguiente forma,

si me perdonan el diagrama apresurado, es decir, situaciones tridimensionales en las que existe una completa equivalencia traslacional en el $y$ y $z$ dimensiones, y la densidad de carga sólo depende de la $x$ coordinar. Debe quedar claro que en esta situación la fuente es una distribución de carga volumétrica, con una densidad de carga volumétrica $\rho(x)$ lo que elimina el problema de la dimensionalidad en su pregunta.

(Esto requiere un dominio infinito, que obviamente no es físico, por lo que sólo se consideran dominios lo suficientemente grandes como para que los efectos de los bordes sean despreciables, y se impone a las soluciones de la ecuación de Poisson la condición adicional de que compartan la invariancia traslacional 2D de la fuente. Densidades de carga en masa de extensión infinita puede de hecho te meten en problemas, pero pedir la invariabilidad traslacional, cuando se hace correctamente, suele funcionar bien).

Por otro lado, esto podría no ser lo que se quiere describir - en algunas situaciones, lo que realmente se quiere describir es un hilo de carga infinitamente delgado con densidad de carga longitudinal $\lambda(x)$ rodeado de vacío. En estas situaciones, sin embargo, la solución ya no es independiente de la $y$ y $z$ coordenadas, y el $1$ D La ecuación de Poisson ya no es apropiada.

(Para ver por qué, considere, por ejemplo, la densidad de carga longitudinal $\lambda(x)=\lambda_0 \sin^2(\pi x/L)$ que oscila a escala de longitud $L$ . Cuando se ve desde $|y|,|z|\ll L$ El potencial $V(x,y,z) \sim \lambda(x) \ln(\sqrt{y^2+z^2})$ seguirá la densidad de carga local, pero si se ve desde un punto de vista lejano con $\sqrt{y^2+z^2}\gg L$ las oscilaciones locales se desvanecerán, y sólo quedará el $x$ -media independiente $V(x,y,z) \sim \frac12 \lambda_0 \ln(\sqrt{y^2+z^2})$ . Esto no es independiente de $y$ o $z$ lo que significa que no se pueden dejar caer esas derivadas parciales).

Si usted hacer quiere describir esa situación utilizando la ecuación de Poisson, entonces el enfoque de eranreches y AccidentalFourierTransform es el correcto: la densidad de carga tiene la forma $$ \rho(\mathbf r) = \lambda(x) \delta(y)\delta(z), $$ y (debido a la dimensionalidad del delta de Dirac, $[\delta(a)]=1/[a]$ se fija por su propiedad de integración $\int \delta(a)\mathrm da=1$ ) esto todavía tiene la dimensionalidad de $\rm charge/length^3$ de una densidad de carga volumétrica.

Answer 2

La electrodinámica de Maxwell es en definitiva una teoría en $3$ dimensiones. Ajuste

$$\frac{\partial^2 V}{\partial y^2},\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0$$

diciendo que $V$ es independiente de $y,z$ no cambia eso, y así $\left[\rho\right]=\frac{\rm C}{\rm m^{3}}$ sigue siendo correcto.