Existencia de un módulo de dimensión inyectiva finita

Question

En la página 107 del libro Anillos Cohen-Macaulay de Bruns y Herzog, los autores escriben

"cualquier módulo de dimensión proyectiva finita (sobre un anillo Gorenstein $R$ ) también tiene dimensión inyectiva finita, simplemente porque $R$ tiene dimensión inyectiva finita por definición".

¿Podría alguien explicar por qué es cierta esta conclusión?

Answer 1

Su pregunta es el ejercicio 3.1.25 (la parte fácil) del mismo libro. Observa que cualquier módulo libre de rango finito tiene dimensión inyectiva finita, y luego busca una resolución libre finita del módulo (es decir, descomponlo en secuencias exactas cortas) empezando por la izquierda.

Answer 2

Porque un anillo noetheriano $R$ tiene dimensión inyectiva finita si y sólo todos los módulos R con dimensión proyectiva finita tienen también dimensión inyectiva finita. Véase la prueba de esto en la página $8$ y también el Teorema de abajo en http://www.math.hawaii.edu/~lee/homolog/Goren.pdf .