Demostrar que $\int_0^1\sqrt{1+x^4}dx\geq \frac{\sqrt{10}}{3}.$

Question

Demuestra que $$\int_0^1\sqrt{1+x^4}dx\geq \frac{\sqrt{10}}{3}.$$ De hecho, estoy tratando de hacer que Cauchy-Schwarz funcione para ello, pero no funciona. ¿Podría alguien dar alguna idea para solucionarlo?

Answer 1

(Rellena los huecos que sean necesarios. Si te atascas, muestra tu trabajo).

A partir de la expansión de $ \sqrt{ 1 + x^4}$ o de otro modo, concluir que para $0 \leq x \leq 1,$

$$ \sqrt{ 1 + x^4 } \geq 1 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^8}{8}. \quad \quad (1)$$

Por lo tanto, demuestre que

$$ \int_0^1 \sqrt{ 1+x^4} \, dx \geq \int_0^1 1 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^8}{8} \, dx = \frac{391}{360} > \frac{ \sqrt{10} } { 3} . $$

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Notas

• De hecho, la desigualdad $(1)$ es válida para todos los $x$ . Esto puede demostrarse mediante
  A) La RHS es negativa cuando $ x^4 \geq 8$ y
  B) Elevando al cuadrado ambos lados para demostrar que es cierto para $ x^4 < 8$ .