Estoy estudiando la teoría de la valoración en el camino a la clase de teoría de campo, y los textos que he mirado de inmediato se centrará en los diferentes valoraciones en el desarrollo de la teoría de la nonarchimedean valoraciones. Por qué? Hay nondiscrete nonarchimedean valoraciones? Si es así, ¿por qué ignoramos? (es cierto que si un campo es localmente compacto, con respecto a un nonarchimedean de valoración, a continuación, que la valoración debe ser discreto y locales, y la compacidad es muy importante, pero me pregunto si no hay más que decir aquí).
Respuestas
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Bryan Roth
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No, No es un ridículo número (es decir, una gran clase adecuada) de nondiscrete no Arquimedianos valoraciones. Para ver algunos de ellos, sólo necesita consultar un texto o una sección de un texto que trata del general de valoraciones, por ejemplo, el Capítulo 17 de estas notas.
En ellos se incluye una prueba de la siguiente hecho: para cualquier torsionfree conmutativa grupo $G$, no existe un orden total $\leq$ $G$ y un anillo de valoración $R$ con valor de grupo isomorfo a $(G,\leq)$.
No estoy seguro de qué hacer con la pregunta "¿por Qué hacemos caso omiso de ellos?" Nosotros no. En algunas ramas de las matemáticas, como la teoría de los campos locales -- discretos valoraciones son más importantes que los no-discretas valoraciones, y en otras ramas de la matemática, por ejemplo, álgebra conmutativa, ciertas partes de la geometría algebraica -- uno definitivamente debe considerar más generales de valoración de los anillos.
Como Pete dice, muchos de nosotros no ignore no discreto de las valoraciones. Sin embargo, me puede explicar por qué un texto en el campo de la clase de teoría.
Si $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$, entonces todos los nonarchimedean valoraciones en $K$ son discretos. Si el texto tiene previsto gastar más de su tiempo centrado en tales campos, lo que explicaría su enfoque.
Prueba: Cualquier tipo de valoración en $K$ da lugar a una valoración en $\mathbb{Q}$. Por la clasificación de las valoraciones en $\mathbb{Q}$, debe ser la $p$-ádico de valoración para algunos $p$. Normalizar $v(p)$$1$. Si usted lee sus libros de texto descripción de la ampliación de las valoraciones de$\mathbb{Q}$$K$, usted debe ver que la imagen de tierras en $(1/e) \mathbb{Z}$ donde $e$ es el grado de ramificación, y está delimitado por $[K:\mathbb{Q}]$. QED
Para un ejemplo de un no-discreta valoración del interés en la teoría de los números, vamos a $K$ ser la extensión de $\mathbb{Q}$ obtenido por contigua a todos los $p^k$ raíz de la unidad, para cada $k$. Si $\zeta_{p^k}$ $p^k$- ésima raíz de $1$,$v_p(\zeta_{p^k} -1 ) = 1/((p-1)p^{(k-1)})$. En particular, la extensión de $v_p$ $K$no es discreto.
