Para ambas partes se puede trabajar simplemente a partir de las definiciones.
El espacio polinómico en cuestión es $P_3$ el espacio de los polinomios de grado máximo $3$ . Demuestra que $B$ abarca $P_3$ mostrando cómo escribir un $p(x)\in P_3$ como una combinación lineal de los miembros de $B$ Así pues, dejemos que $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\in P_3$ . Quieres encontrar los coeficientes $c_0,c_1,c_2,c_3$ tal que
$$p(x)=c_0\cdot1+c_1(x+1)+c_2x(x+1)+c_3x(x+1)(x-1)\;.$$
Multiplica el lado derecho: quieres
$$p(x)=(c_0+c_1)+(c_1+c_2-c_3)x+c_2x^2+c_3x^3\;.$$
Ahora iguala los coeficientes:
$$\left\{\begin{align*} &c_0+c_1=a_0\\ &c_1+c_2-c_3=a_1\\ &c_2=a_2\\ &c_3=a_3 \end{align*}\right.\tag{1}$$
Por último, demuestre que el sistema resultante siempre puede resolverse para $c_0,c_1,c_2$ y $c_3$ en términos de $a_0,a_1,a_2$ y $a_3$ que le asegura que cada $p(x)\in P_3$ es una combinación lineal de elementos de $B$ .
Del mismo modo, para demostrar que $B$ es un conjunto linealmente independiente, intente hacer lo que la definición de independencia lineal dice que debe hacer para demostrar que un conjunto es linealmente independiente: suponga que $c_0,c_1,c_2$ y $c_3$ son escalares tales que
$$c_0\cdot1+c_1(x+1)+c_2x(x+1)+c_3x(x+1)(x-1)=0\;,$$
y demostrar que esto implica que $c_0=c_1=c_2=c_3=0$ . La mayor parte del trabajo ya se ha realizado para demostrar que $B$ abarca $P_3$ : en realidad sólo estás mostrando que cuando $a_0=a_1=a_2=a_3=0$ El sistema $(1)$ tiene la solución única $c_0=c_1=c_2=c_3=0$ y si ya has hecho la primera parte, ya sabes que $(1)$ tiene una solución única para cada elección de $a_0,a_1,a_2$ y $a_3$ .
