Integral sobre el conjunto de Cantor Dimensión de Hausdorff

Question

Como se puede ver en la Mecánica Clásica de David Morin, existen algunas estrategias de escalado para calcular los momentos de inercia de ciertos fractales, por ejemplo, el conjunto de Cantor tiene un momento de inercia de $I_C = \displaystyle \frac{ml^2}{8}$ La alfombra de Sierpinski tiene un momento de inercia de $I_S = \displaystyle \frac{3ml^2}{16}$ y el Triángulo de Sierpinski tiene un momento de inercia de $I_T=\displaystyle\frac{ml^2}{9}$ donde $m$ es la masa total del conjunto y l es la longitud de sus lados.

Sin embargo, esto no implica ninguna integral, por eso lo pregunto. ¿Hay alguna forma de calcular estos momentos de inercia mediante las integrales habituales? Para Cantor por ejemplo:

\begin{equation} I = \int_C x^2 dm = \frac{m}{l} \int_C x^2 dx \end{equation}

Donde $dm=\rho dx = \frac{m}{l}dx$ )

A primera vista, esta integral tiene un valor de $0$ ya que el conjunto de Cantor tiene medida de Lebesgue cero. Por "razones" físicas se espera un número finito, por eso he pensado que tal vez tenga que considerar algún tipo de "integral fraccionaria" sobre la dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor. Esta dimensión es $d=\displaystyle \frac{log 2}{log 3}$ . Así que tal vez debería tratar de calcular esto?

\begin{equation} \int x^2 \chi_C dm_d \end{equation}

Con $dm_d$ la medida d-dimensional de Hausdorff, y $\chi_C$ la función característica sobre el conjunto de Cantor.

Ya hice una pregunta similar, y la respuesta la dio John Dawkins con un enfoque probabilístico:

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Tomaré $m=1$ y $l=1$ . La distribución natural de masa "uniforme" en el conjunto estándar de Cantor es la distribución de la variable aleatoria $$ X:=\sum_{n=1}^\infty {\xi_n\over 3^n}, $$ donde $\xi_1,\xi_2,\ldots$ son i.i.d. con $\Bbb P[\xi_n=0]=\Bbb P[\xi_n=2]=1/2$ . (Esta distribución es también la medida de Hausdorff normalizada de dimensión $d=\log 2/\log 3$ .) Claramente $\Bbb E[X] =1/2$ mientras que la varianza de $X$ (también conocido como el momento de inercia sobre el eje vertical a través de la media de $X$ ) es $$ \eqalign{ \Bbb E[(X-1/2)^2] &=\Bbb E[(\sum_n{\xi_n-1\over 3^n})^2]\cr &=\Bbb E\sum_{m,n}{\xi_m-1\over 3^m}{\xi_n-1\over 3^n}\cr &=\sum_{m,n} 3^{-m-n}\Bbb E[(\xi_m-1)(\xi_n-1)]}. $$ Las expectativas en esta doble suma son $0$ o $1$ según $m\not=1$ o $m=n$ Por lo tanto $$ \eqalign{ \Bbb E[(X-1/2)^2] &=\sum_{n=1}^\infty 3^{-2n} = {1\over 8}.\cr } $$

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Así que ahora pregunto si esto se puede utilizar para obtener los momentos de inercia de los otros dos fractales anteriores o se requiere el enfoque integral o algo más. Por supuesto que sería de gran ayuda si pudieras mostrarme alguna bibliografía donde se resuelva esto o si puedes encontrar algún método nuevo para resolverlo. Tal vez se requiera algo de cálculo fraccionario o algo parecido.

Answer 1

En primer lugar, no creo que quieras integrar con respecto a la medida de Hausdorff, cuyo valor exacto es bastante difícil de calcular. Más bien, quieres integrar con respecto a una medida uniforme sobre $C$ o, más generalmente, sobre el atractor de cualquier IFS con el que se esté tratando. Para un conjunto autosimilar, esta medida también mostrará un tipo de autosimilitud. Si el conjunto $E$ es el conjunto invariante del IFS de similitudes $\{T_i\}_{i=1}^m$ y se cumple la condición de conjunto abierto y si $\{p_i\}_{i=1}^m$ son números positivos que suman uno, entonces existe una medida de probabilidad autosimilar $\mu$ satisfaciendo $$\mu(A) = \sum_{i=1}^m p_i \mu(T_i^{-1}(A)),$$ para $A\subset E$ . Hay una técnica encantadora para la integración con respecto a tales medidas elaborada por Bob Strichartz en su fabuloso documento Evaluación de integrales mediante autosimilaridad . En particular, esa autosimilaridad teórica de la medida implica una identidad autosimilar para la integral correspondiente, a saber: $$\int f(x) d\mu(x) = \sum_{i=1}^m p_i \int f(T_i(x)) \, d\mu(x).$$ Esta fórmula se puede iterar para generar algo así como una suma de Riemann para estimar numéricamente las integrales. También puede utilizarse para establecer una recursión que nos permita calcular la integral de cualquier polinomio. Para ello, sólo necesitamos dos fórmulas más sencillas.

En primer lugar, la integral de una constante es exactamente esa constante: $$\int c d\mu(x) = c$$ Estamos usando aquí el hecho de que $\mu$ es una medida de probabilidad. Si tuviera una masa total diferente $m$ simplemente recogemos $m\times c$ en su lugar.

En segundo lugar, la integral es lineal $$\int (af(x) + bg(x)) \, d\mu(x) = a\int f(x) \, d\mu(x) + b \int g(x) \, d\mu(x).$$

Como ejemplo, centrémonos en el conjunto de Cantor e intentemos calcular su momento de inercia. En este caso, la identidad autosimilar toma la forma $$\int f(x) \, d\mu(x) = \frac{1}{2}\int f\left(\frac{1}{3}x\right)\,d\mu(x) + \frac{1}{2}\int f\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right) \, d\mu(x).$$ Así, $$ \begin{align} \int x \, d\mu(x) &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{3}x\right)\,d\mu(x) + \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right) \, d\mu(x) \\ &= \frac{1}{6} \int x \, d\mu(x) + \frac{1}{6} \int x \, d\mu(x) + \frac{1}{3} \int d\mu(x) \\ &= \frac{1}{3} \int x \, d\mu(x) + \frac{1}{3}. \end{align} $$ Resolver para $\int x \, d\mu(x)$ encontramos $$\int x \, d\mu(x) = \frac{1}{2}.$$ Podemos repetir el proceso para calcular $\int x^2 \, d\mu(x)$ . $$ \begin{align} \int x^2 \, d\mu(x) &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{3}x\right)^2\,d\mu(x) + \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)^2 \, d\mu(x) \\ &= \frac{1}{18} \int x^2 \, d\mu(x) + \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}\right) \, d\mu(x) \\ &= \frac{1}{9} \int x^2 \, d\mu(x) + \frac{2}{9} \int x \, d\mu(x) + \frac{2}{9} \int \, d\mu(x). \end{align} $$ De nuevo, conocemos las integrales de orden inferior por lo que podemos resolver la integral de $x^2$ para conseguir $$\int x^2 \, d\mu(x) = \frac{3}{8}.$$ Por último, es fácil ampliar su integral para conseguir $$\int (x-1/2)^2 \, d\mu(x) = \int(x^2-x+1/4)\, d\mu(x) = 1/8$$ de acuerdo con su enfoque probabilístico.

De nuevo, esto puede aplicarse a cualquier IFS ponderado de similitudes siempre que se cumpla el OSC. En el caso de un $\mathbb R^2$ Por supuesto, los cálculos son más complicados. Sin embargo, tengo un código de Mathematica que automatiza el procedimiento y podría verificar tus otros cálculos, si quieres.