$ \mathbb{H}$ es el álgebra de división de los cuaterniones

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra. Para $a, b \in A $ definimos mapas $L_{a}, R_{b} : A \longrightarrow A$ llamado el mapa de multiplicación de la izquierda mapa de multiplicación de la izquierda y mapa de multiplicación de la derecha , por

$L_{a} (x) := ax, R_{b} (x) := xb$ .

Tenga en cuenta que para todos los $a, b \in A, \lambda , \mu \in F ( field) $ tenemos

$L_{a}b = L_{a}Lb, R_{ab} = R_{b}R_{a} $ ,

$L_{a}R_{b} = R_{b}L_{a}$ ,

$L_{\lambda a+\mu b} = \lambda L_{a} + \mu L_{b}, \quad R_{\lambda a+\mu b} = \lambda R_{a} + \mu R_{b}$

Así que.., ¿hay algún elemento en $M ( \mathbb{H} ) $ ( $ \mathbb{H}$ es el álgebra de división de los cuaterniones ) que no puede escribirse como $ L_{a} R_{b}$ , $ a, b \in \mathbb{H} $ ?

Answer 1

Para cualquier anillo $S$ , $End(S_S)\cong S$ como anillos a través del homomorfismo de anillos $L$ que has dado arriba. En ese sentido, " $S=L(S)$ " ya: (cada elemento de $S$ es un derecho $S$ transformación lineal de $S$ .)

Además, $End(_SS)\cong S^{op}$ el anillo opuesto de $S$ a través del homomorfismo $R$ que has dado más arriba. Pero el conjunto subyacente de $S$ y $S^{op}$ es el mismo, así que en ese sentido se puede decir de nuevo $S=R(S)$ ya: (cada elemento de $S$ es una izquierda $S$ transformación lineal de $S$ .)

Tal vez le interese la sección sobre este tema en el libro de Jacobson Álgebra básica textos (no recuerdo qué página en este momento, pero los libros son baratos y fáciles de conseguir. Añadiré una cita si me pongo a ello).