Supongamos que $R$ y $S$ son relaciones de un conjunto $A$ demostrar que

Question

A) Si $R$ es simétrica, $R^{-1}$ es simétrico

b) Si $R$ es antisimétrico, $R^{-1}$ es antisimétrico

c) Si $R$ es reflexivo, $R$ $∩$ $R^{-1}$ $≠ ∅$

d) Si $R$ y $S$ son transitivos, $R∩S$ es transitivo.

$\ $

b) Definición de simétrico

$∀ a,b ∈ A, (a,b) ∈ R, (b,a) ∈ R --> a = b$

Supongamos que $\ $ $(a,b) ∈ R^{-1}, (b,a) ∈ R^{-1}$

Según la definición: $(b,a) ∈ R, (a,b) ∈ R,$ como $R$ **es simétrico , $a = b$

Según la definición: $(a,b) ∈ R^{-1}, (b,a) ∈ R^{-1} $ $\ $ donde $\ $ $a = b$

$\ $

d) Definición de transitivo

$∀ \ a,b ∈ A, (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R --> (a,c) ∈ R$

Supongamos que $(a,b) ∈ R∩S, (b,c) ∈ R∩S$

Según la definición: $(a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R,$ $\ $ como $R$ es transitivo , $(a,c) ∈ R.$

Según la definición: $(a,b) ∈ S, (b,c) ∈ S,$ como $S$ es transitivo, $(a,c) ∈ S.$

Según la definición: $(a,c) ∈ R^{-1}$

Answer 1

Las pruebas podrían ser más estructuradas:

Supongamos que $R$ es simétrica.
Queremos mostrar $R^{-1}$ es simétrica. Así que toma $(x,y) \in R^{-1}$ .
Por definición: $(y,x) \in R$ . Como $R$ es simétrica: $(x,y) \in R$
Así que por definición de nuevo: $(y,x) \in R^{-1}$ .
Como $(x,y)$ era arbitraria, $R^{-1}$ es simétrica.

Ahora trata de hacer los otros en este estilo también.

por ejemplo, c): Tenemos que suponer también que $A \neq \emptyset$ o bien $R = R^{-1} = \emptyset$ y la afirmación sería falsa.
Escoge $a \in A$ . Entonces $R$ es reflexivo significa $(a,a) \in R$ .
Pero también $(a,a) \in R^{-1}$ también.
Así que $(a,a) \in R \cap R^{-1} \neq \emptyset$ .